Università degli Studi di Perugia

Esame scritto ed orale finale. Esercitazioni guidate in itinere (autovalutazione).

Controllare il sito web della Facoltà http://www.agr.unipg.it

Approfondimento e ampliamento delle conoscenze matematiche di base, equazioni e sistemi differenziali del primo ordine, modelli matematici in dinamica delle popolazioni, algebra delle matrici e discussione di sistemi lineari, funzioni di più variabili reali, superfici, derivate parziali e direzionali, discriminante, Hessiano e moltiplicatori di Lagrange in problemi di ottimizzazione, metodo dei minimi quadrati e retta di regressione.
Acquisizione e utilizzazione del linguaggio matematico, interpretazione di semplici problemi in termini matematici, formulazione e risoluzione di modelli matematici elementari e applicazione degli strumenti sviluppati per trarre delle conclusioni matematiche da interpretare e discutere.

ARGOMENTI DELLE LEZIONI:
Equazioni differenziali (2 CFU)
Primitive di una funzione. Integrale indefinito. Integrali immediati. Metodo di integrazione per parti e per sostituzione. Alcuni elementi di integrazione numerica. Concetto di equazione differenziale, soluzioni, ordine e grado. Problema di Cauchy. Soluzioni approssimate: metodo di Eulero. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Modello di Malthus. Crescita esponenziale.
Equazioni differenziali lineari del primo e del secondo ordine. Teorema di esistenza e unicità della soluzione. Equazioni differenziali di Bernoulli. Modello di Verhulst. Crescita logistica. Modello di Gompertz. Sistemi differenziali lineari del primo ordine.

Elementi di Algebra Lineare (2 CFU)
Matrici, operazioni e proprietà, determinante, inversa di una matrice. Rango di una matrice. Sistemi lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari omogenei.
Spazio a tre dimensioni, ottanti. Equazioni degli assi e dei piani cartesiani. Distanza tra due punti nello spazio. Equazione cartesiana di piani e di rette nello spazio. Vettori. Lineare indipendenza. Trasformazioni geometriche. Autovalori ed autovettori di una matrice.

Funzioni di più variabili reali (2 CFU)
Funzioni di due variabili: campo di esistenza, codominio, grafico. Sezioni verticali ed orizzontali, curve di livello. Superfici quadratiche. Derivate parziali, gradiente. Derivate direzionali. Significato geometrico. Derivate parziali seconde.
Punti di massimo e minimo relativo. Hessiano di una funzione. Massimi e minimi vincolati. Problemi di ottimizzazione. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

ARGOMENTI DELLE ESERCITAZIONI:
Modelli matematici in dinamica delle popolazioni; crescita di popolazioni isolate, modello di Malthus, di Verhulst. Interazioni tra più popolazioni. Diffusione di notizie o di epidemie. Problemi di saturazione del mercato. Applicazioni della legge di raffreddamento di Newton e della legge di Bigelow per l'abbattimento microbico in processi di sterilizzazione.

Applicazioni delle matrici alla teoria dei grafi, alla ecologia, alla genetica. Metodo di eliminazione di Gauss.
Sistemi lineari nel bilanciamento di diete alimentari e di reazioni chimiche. Sistemi lineari con parametro: discussione.
Interpretazione geometrica di sistemi lineari nel piano e nello spazio. Significato geometrico di autovettori nel piano e nello spazio.

Visualizzazione delle superfici tramite Computer Algebra Systems e interpretazione geometrica delle sezioni verticali e curve di livello.
Problemi di ottimizzazione. Ricerca di punti di massimo o minimo liberi o vincolati. Metodo dei minimi quadrati e retta di regressione.

Equazioni e sistemi differenziali del primo ordine. Modelli matematici in dinamica delle popolazioni. Vettori, matrici, sistemi lineari, trasformazioni lineari. Autovalori ed autovettori di una matrice. Funzioni di più variabili reali. Gradiente e determinante Hessiano. Massimi e minimi di una funzione (vincolati).

Lezioni teoriche 45 ore
Didattica integrativa 15 ore
Attività tutoriale di supporto oltre alle ore di lezione programmate 40 ore                                                      Esercitazioni guidate in itinere (di autovalutazione).                                                                                                 Lettura e studio personale su testi di riferimento.                                                                                               Lettura e studio personale su materiale on-line messo a disposizione dal docente

1. JAMES STEWART "CALCOLO - Funzioni di una variabile", Ed. Apogeo 2001. 

2. JAMES STEWART "CALCOLO - Funzioni di più variabili", Ed. Apogeo 2002. 

3. Dispense integrative "MATAGRIA 2" con esercizi svolti e proposti (disponibili presso il sito http://elearning.unipg.it/agraria/)

Conoscenze (sapere)
1. Primitive e integrale indefinito
2. Concetto di equazione differenziale. Problema di Cauchy
3. Modelli di Malthus, Verhulst, Gompertz. Crescita esponenziale e logistica
4. Algebra delle matrici e Teorema di Rouché - Capelli
5. Trasformazioni geometriche nel piano e nello spazio. Autovalori e autovettori
6. Spazio tridimensionale, concetto di funzione di due variabili indipendenti
7. Derivate parziali e direzionali con significato geometrico. Gradiente e proprietà
8. Punti critici di una funzione di due variabili
9. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
10. Regressione lineare, metodo dei minimi quadrati

Abilità (saper fare)
1. Costruire semplici modelli matematici risolubili con equazioni differenziali, interpretare le soluzioni e trarre conclusioni matematiche
2. Calcolo di integrali immediati, per parti, per sostituzione
3. Risoluzione di equazioni differenziali a variabili separabili, lineari, di Bernoulli. Risoluzione di sistemi differenziali lineari del primo ordine
4. Discussione di sistemi lineari
5. Individuare e tracciare le sezioni verticali e le curve di livello delle superfici
6. Calcolo di derivate parziali, direzionali, gradiente, Hessiano
7. Impostare e risolvere semplici problemi di massimo o minimo liberi o vincolati

Comportamenti (saper essere)
1. Consapevolezza dell' importanza della matematica per la comprensione di molti aspetti
applicativi.
2. Acquisizione di un metodo di studio che non sia fine a se stesso, ma consenta una
proficua partecipazione nelle attività formative del corso di laurea.

Da definire

• da definire

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Frequenza non obbligatoria

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