Insegnamento GEOMETRIA DIFFERENZIALE
| Nome del corso di laurea | Matematica |
|---|---|
| Codice insegnamento | 55A00091 |
| Sede | PERUGIA |
| Curriculum | Comune a tutti i curricula |
| Docente responsabile | Nicola Ciccoli |
| Docenti |
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| Ore |
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| CFU | 9 |
| Regolamento | Coorte 2017 |
| Erogato | Erogato nel 2017/18 |
| Erogato altro regolamento | |
| Attività | Caratterizzante |
| Ambito | Formazione teorica avanzata |
| Settore | MAT/03 |
| Anno | 1 |
| Periodo | Primo Semestre |
| Tipo insegnamento | Obbligatorio (Required) |
| Tipo attività | Attività formativa monodisciplinare |
| Lingua insegnamento | ITALIANO Il corso può essere svolto in lingua inglese su richiesta unanime dei frequentanti. |
| Contenuti | Teoria delle varietà differenziabili astratte |
| Testi di riferimento | M. ABATE, F. TOVENA, Geometria Differenziale, Springer. J.M.LEE, Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society Gadea/Muñoz - "Analysis & Algebra on Differentiable Manifolds: A Workbook for Students and Teachers". |
| Obiettivi formativi | L'insegnamento intende introdurre gli studenti a strumenti e argomenti propri della geometria differenziale astratta. Le principali conoscenze acquisite saranno relative alla padronanza delle tecniche di calcolo e di dimostrazione nel calcolo differenziale su varietà non necessariamente immerse e di dimensione qualunque. |
| Prerequisiti | I prerequisiti sotto elencati riguardano sia gli studenti frequentanti che gli studenti non frequentanti. Calcolo differenziale di una e più variabili reali (comprensivo di teoremi di esistenza e unicità delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie): indispensabile. Elementi di topologia degli spazi metrici: indispensabile. Algebra lineare: indispensabile. Geometria affine e proiettiva del piano e dello spazio: importante. In generale si possono ritenere importanti i contenuti (non esplicitamente dichiarati indispensabili) dei corsi di Algebra I, Analisi I-II-III, Geometria I, II, III e IV. |
| Metodi didattici | Lezioni frontali in aula su tutti gli argomenti del corso. Svolgimento di esercizi atti ad applicare le conoscenze teoriche in situazioni "concrete".Gli studenti saranno incoraggiati a svolgere parte attiva nel processo di apprendimento, cercando di evitare di proporre la semplice memorizzazione di procedure standardizzate di calcolo. Verrà quindi loro richiesto un atteggiamento attivo nei confronti del materiale didattico e in generale verso la procedura di apprendimento. In particolare: dimostrazioni non complete in tutti i dettagli, esercizi le cui parti più meccaniche vengono lasciate allo studente, indicazioni di temi di approfondimento non strettamente ricompresi nel programma, vanno intesi come un preciso metodo didattico atto a contrastare la logica della standardizzazione dei contenuti e incoraggiare la crescita di un atteggiamento curioso e propositivo nei confronti della materia. |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | L'esame consiste di una sola prova orale di durata variabile e comunque non superiore ai 120 minuti. La prova ha lo scopo di verificare: la capacità di applicare le nozioni della geometria differenziale in esempi espliciti. Per questa ragione durante l'orale può essere richiesto di svolgere brevi esercizi. la comprensione delle problematiche teoriche affrontate nel corso, della loro relazione con altri campi della matematica e la capacità di stabilire collegamenti tra le differenti parti del programma. Per questo motivo viene richiesto di essere in grado di dare dimostraioni sufficientemente complete dei principali risultati enunciati nel corso. la capacità espositiva degli studenti e la loro maggiore o minore precisione nell'uso del linguaggio matematico. Non è prevista una prova d'esonero durante il corso. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa |
| Programma esteso | Teoria delle varietà differenziabili: definizione, carte locali, atlanti. Esempi principali. Paracompattezza e partizioni dell'unità. Applicazioni differenziabili tra varietà. Varietà con bordo. Spazi tangente e cotangente. Differenziale di una applicazione. Fibrato tangente e fibrato cotangente. Immersioni e summersioni. Immersioni regolari e cenni al teorema di Whitney. Foliazioni e quozienti. Campi vettoriali e flussi: integrabilità. Parentesi di Lie di campi vettoriali. Algebre di Lie. Gruppi di Lie e azioni differenziabili: gruppi di trasformazioni. Teorema di Frobenius. Elementi di algebra multilineare. Campi tensoriali su varietà. Forme differenziali su varietà. Calcolo differenziale astratto. Integrazione su varietà. Coomologia di De Rham. Se il tempo lo permette si svilupperanno inoltre alcuni concetti della teoria generale dei fibrati vettoriali e delle connessioni sui fibrati, con cenni alla Geometria Riemanniana. |