Insegnamento GEOMETRIA IV
| Nome del corso di laurea | Matematica |
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| Codice insegnamento | 55099109 |
| Curriculum | Comune a tutti i curricula |
| Docente responsabile | Nicola Ciccoli |
| Docenti |
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| Ore |
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| CFU | 9 |
| Regolamento | Coorte 2016 |
| Erogato | Erogato nel 2018/19 |
| Erogato altro regolamento | |
| Attività | Caratterizzante |
| Ambito | Formazione teorica |
| Settore | MAT/03 |
| Anno | 3 |
| Periodo | Primo Semestre |
| Tipo insegnamento | Obbligatorio (Required) |
| Tipo attività | Attività formativa monodisciplinare |
| Lingua insegnamento | ITALIANO In via sperimentale il corso potrebbe essere tenuto in lingua inglese, in accordo con la maggior parte degli studenti frequentanti. L'esame può svolgersi in lingua inglese a richiesta. |
| Contenuti | Teoria delle curve differenziabili in R^n e delle superfici in R^3. Elementi di topologia. |
| Testi di riferimento | A. LOI, Introduzione alla Topologia Generale, Aracne 2013. M. ABATE, F. TOVENA, Curve e superfici, Springer, 2006. I. SINGER, A THORPE, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Undergraduate Texts in Math, Springer. M. P. DO CARMO, Differential Geometry of curves and surfaces, Pearson, 1976. G. CAMPANELLA Curve e superfici - Esercizi svolti, Aracne, 2006. . I testi sono, come richiesto, "di riferimento", con ciò intendendo che è cura dello studente individuare all'interno dei testi le porzioni atte alla comprensione del programma (percorso di crescita individuale e dunque non predefinibile a cura del docente). La preparazione dell'esame sulla base dei soli appunti presi a lezione è caldamente sconsigliata. Altri testi potenzialmente utili verranno consigliati a lezione. Il docente è disponibile ad aiutare gli studenti nella fruizione del materiale didattico presente in Biblioteca con indicazioni, necessariamente personalizzate, più precise. |
| Obiettivi formativi | L'insegnamento intende introdurre gli studenti a strumenti e argomenti propri della geometria differenziale, con particolare riferimento alle sottovarietà di dimensione 1 e 2 in R^n. Le principali conoscenze acquisite saranno relative alla costruzione dei principali invarianti metrici: curvatura e torsione di curve nello spazio e loro generalizzazioni, curvatura media e gaussiana di superfici in R^3 e loro generalizzazioni. Si intende inoltre chiarire quale problema di natura globale che permetta agli studenti di apprezzare l'interazione tra proprietà di natura metrica e topologica. Le principalità abilità acquisite saranno: - Calcolo della lunghezza e della parametrizzazione d'arco di curve; - Determinazione di curvatura e torsione di curve parametrizzate o espresse in forma implicita. - Ricostruzione di curve con curvatura e torsione noti. Calcolo di invarianti geometrici globali. - Verifica che un insieme in R^3 sia una superficie parametrizzata. Calcolo dello spazio tangente in un punto. - Calcolo di curvature principali, curvatura media, curvatura gaussiana di una superficie data. - Calcolo di geodetiche di superfici Riemanniane date. - Rendere gli studenti capaci di leggere libri di matematica sull'argomento, individuando da soli le porzioni di testo di interesse per la preparazione del corso. |
| Prerequisiti | I prerequisiti sotto elencati riguardano sia gli studenti frequentanti che gli studenti non frequentanti. Calcolo differenziale di una e più variabili reali (comprensivo di teoremi di esistenza e unicità delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie): indispensabile. Elementi di topologia degli spazi metrici: indispensabile. Algebra lineare: indispensabile. Geometria affine e proiettiva del piano e dello spazio: importante. In generale si possono ritenere importanti i contenuti (non esplicitamente dichiarati indispensabili) dei corsi di Algebra I, Analisi I-II-III, Geometria I, II, III. |
| Metodi didattici | Lezioni frontali in aula su tutti gli argomenti del corso. Svolgimento in aula di tipologie di esercizi comparabili a quelli del compito scritto. Va però precisato che i compiti contengono anche esercizi non standardizzabili, volti a stimolare la capacità di ragionamento in contesti non predefiniti. Sessioni di studio assistito (tutorato). Gli studenti saranno incoraggiati a svolgere parte attiva nel processo di apprendimento, cercando di evitare di proporre la semplice memorizzazione di procedure standardizzate di calcolo. Verrà quindi loro richiesto un atteggiamento attivo nei confronti del materiale didattico e in generale verso la procedura di apprendimento. In particolare: dimostrazioni non complete in tutti i dettagli, esercizi le cui parti più meccaniche vengono lasciate allo studente, indicazioni di temi di approfondimento non strettamente ricompresi nel programma, vanno intesi come un preciso metodo didattico atto a contrastare la logica della standardizzazione dei contenuti e incoraggiare la crescita di un atteggiamento curioso e propositivo nei confronti della materia. |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | L'esame prevede una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste nella soluzione di un numero non prefissato di esercizi. Ha durata non superiore a 180 minuti. Ha lo scopo di verificare la capacità di applicare le nozioni della geometria differenziale in esempi espliciti. Il raggiungimento di una soglia minima di voto nella prova scritta (15/30) è necessario per l'accesso alla prova orale.Durante la prova scritta non è consentito l'uso di materiale didattico e di apparati elettronici. La prova orale, della durata approssimativa di 45 minuti, è finalizzata ad accertare la comprensione delle problematiche teoriche affrontate nel corso, le capacità espositive degli studenti e la loro maggiore o minore precisione nell'uso del linguaggio matematico, oltra alla capacità di stabilire collegamenti tra le differenti parti del programma. Non è possibile stabilire a priori il peso del voto della prova scritta sul voto complessivo; tale peso dipende dalle caratteristiche degli esercizi che lo studente sceglie di svolgere, dalla qualità e completezza delle spiegazioni che accompagnano lo svolgimento, dalle capacità espositive dimostrate durante la prova orale. Non è prevista una prova d'esonero durante il corso. Saranno organizzate, d'accordo con gli studenti, sessioni di esercitazioni guidate durante lo svolgimento del corso. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa |
| Programma esteso | Elementi di topologia generale utili alla geometria differenziale. Teoria locale delle curve: concetto di curva parametrizzata, lunghezza d'arco, riferimenti di Frènet, curvatura e torsione in R^3, curvatura nel piano, curvature generalizzate in R^n. Ricostruzione di curve a partire dal sistema di Frènet. Cenni ad aspetti geometrici globali delle curve parametrizzate. Teoria locale delle superfici di R^3: definizione di superficie regolare, funzioni differenziabili tra superfici, piano tangente. Curvature: prima e seconda forma fondamentale, orientabilit à, curvature principali, Gaussiana e media, theorema egregium di Gauss. Simboli di Christoffel. Equazioni di Caodazzi-Mainardi. Curvatura geodetica. Equazioni delle geodetiche. Cenni a proprietà globali della teoria delle superfici e delle varietà. |