Insegnamento ANALISI MATEMATICA
| Nome del corso di laurea | Scienze e tecnologie agro-alimentari |
|---|---|
| Codice insegnamento | GP000938 |
| Curriculum | Tecnologie agro-alimentari |
| Docente responsabile | Rita Ceppitelli |
| Docenti |
|
| Ore |
|
| CFU | 6 |
| Regolamento | Coorte 2019 |
| Erogato | Erogato nel 2019/20 |
| Erogato altro regolamento | |
| Attività | Base |
| Ambito | Matematiche, fisiche, informatiche e statistiche |
| Settore | MAT/05 |
| Anno | 1 |
| Periodo | Secondo Semestre |
| Tipo insegnamento | Obbligatorio (Required) |
| Tipo attività | Attività formativa monodisciplinare |
| Lingua insegnamento | Italiano |
| Contenuti | Integrali. Equazioni e sistemi differenziali del primo ordine. Modelli matematici in dinamica delle popolazioni. Vettori, matrici, sistemi lineari, trasformazioni lineari. Autovalori ed autovettori di una matrice. Funzioni di più variabili reali. Gradiente e derivate direzionali. Piano tangente, approssimazione lineare. |
| Testi di riferimento | 1. JAMES STEWART "CALCOLO Funzioni di una variabile", Maggioli Editore 2013. 2. JAMES STEWART "CALCOLO - Funzioni di più variabili", Maggioli Editore 2013. (Titolo originale: Calculus-Concepts and Contexts, 2nd edition.) 3. Dispense integrative con esercizi svolti e proposti disponibili online. |
| Obiettivi formativi | L'obiettivo dell'insegnamento è l' approfondimento e ampliamento delle conoscenze matematiche di base in modo da raggiungere l'acquisizione di un linguaggio matematico da utilizzare nelle applicazioni. In particolare si intende trasmettere la capacità di interpretazione di semplici problemi in termini matematici, formulazione e risoluzione di modelli matematici elementari e applicazione degli strumenti sviluppati per trarre delle conclusioni matematiche da interpretare e discutere. Conoscenze: 1. Integrali e applicazioni. 2. Il concetto di Equazione Differenziale. Esempi e principali proprietà del Problema di Cauchy. 3. Modelli di Malthus, Verhulst and Gompertz. 4. Matrici sistemi lineari. Il Teorema di Rouche-Capelli. 5. Trasformazioni geometriche. Autovalori e autovettori di matrici. 6. Funzioni di due variabili. Gradiente, derivate direzionali. Abilità: 1. Impostare e analizzare semplice modelli matematici risolvibili per mezzo di integrali e equazioni differenziali. 2. Calcolare integrali immediate. 3. Risolvere Equazioni differenziali con il metodo delle variabili separabili. Risolvere equazioni differenziali lineari e di Bernoulli. 4. Discutere sistemi lineari con parametro. 5. Calcolare gli autovalori e autovettori di una matrice con applicazione alla risoluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficient costanti. 6. Individuare le prime proprietà delle funzioni di due variabili: dominio, curve di livello, gradiente, piano tangente. Applicare il differenziale per l’approssimazione lineare. |
| Prerequisiti | Per comprendere i contenuti e raggiungere gli obiettivi relativi all'insegnamento di Analisi Matematica è indispensabile che lo studente abbia acquisito tutte le conoscenze e le abilità relative agli argomenti del programma del corso di Matematica. |
| Metodi didattici | Il corso è così organizzato: lezioni in aula su tutti gli argomenti, esercitazioni in aula con svolgimento di problemi della stessa tipologia di quelli proposti nelle prove di esame. Lo studente potrà usufruire anche di un'attività tutoriale di supporto che si svolgerà settimanalmente con calendario prestabilito |
| Altre informazioni | Frequenza non obbligatoria, ma fortemente consigliata. |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | L'esame prevede una prova scritta e una prova orale.La prova scritta consiste nella soluzione di quattro problemi aperti ed ha una durata non superiore a 3 ore. E' finalizzata a verificare le capacità di: - comprensione dei problemi proposti; - applicazione corretta e gestione delle conoscenze acquisite; - interpretazione dei risultati ottenuti. La prova orale consiste in un colloquio della durata di circa 30 minuti ed è finalizzata ad accertare il livello di comprensione raggiunto dallo studente e la sua capacità di collegamento degli argomenti introdotti. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa |
| Programma esteso | ARGOMENTI DELLE LEZIONI: Integrali ed equazioni differenziali. Primitive di una funzione. Integrale indefinito. Integrali immediati. Metodo di integrazione per parti e per sostituzione. Alcuni elementi di integrazione numerica. Concetto di equazione differenziale, soluzioni, ordine e grado. Problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Modello di Malthus. Crescita esponenziale. Equazioni differenziali lineari del primo Teorema di esistenza e unicità della soluzione. Equazioni differenziali di Bernoulli. Modello di Verhulst. Crescita logistica. Modello di Gompertz. Sistemi differenziali lineari del primo ordine. Elementi di Algebra Lineare. Matrici, operazioni e proprietà, determinante, inversa di una matrice. Rango di una matrice. Sistemi lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari omogenei. Spazio a tre dimensioni, ottanti. Equazioni degli assi e dei piani cartesiani. Distanza tra due punti nello spazio. Equazione cartesiana di piani e di rette nello spazio. Vettori. Lineare indipendenza. Trasformazioni geometriche. Autovalori ed autovettori di una matrice. Funzioni di più variabili reali: Funzioni di due variabili: campo di esistenza, codominio, grafico. Sezioni verticali ed orizzontali, curve di livello. Superfici quadratiche. Derivate parziali, gradiente. Derivate direzionali. Significato geometrico. Derivate parziali seconde. Piano tangente e approssimazione lineare. ARGOMENTI DELLE ESERCITAZIONI: Applicazione del concetto di integrale quale strumento per ottenere la variazione totale. Modelli matematici in dinamica delle popolazioni; crescita di popolazioni isolate, modello di Malthus, di Verhulst. Interazioni tra più popolazioni. Diffusione di notizie o di epidemie. Problemi di saturazione del mercato. Applicazioni della legge di raffreddamento di Newton e della legge di Bigelow per l'abbattimento microbico in processi di sterilizzazione. Applicazioni delle matrici alla teoria dei grafi, alla ecologia, alla genetica. Metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi lineari nel bilanciamento di diete alimentari e di reazioni chimiche. Sistemi lineari con parametro: discussione. Interpretazione geometrica di sistemi lineari nel piano e nello spazio. Significato geometrico di autovettori nel piano e nello spazio. Visualizzazione delle superfici tramite Computer Algebra Systems e interpretazione geometrica delle sezioni verticali e curve di livello. |