Insegnamento ANALISI FUNZIONALE

Nome del corso di laurea Matematica
Codice insegnamento 55A00085
Curriculum Comune a tutti i curricula
Docente responsabile Patrizia Pucci
Docenti
  • Patrizia Pucci
Ore
  • 63 Ore - Patrizia Pucci
CFU 9
Regolamento Coorte 2020
Erogato Erogato nel 2020/21
Erogato altro regolamento
Attività Caratterizzante
Ambito Formazione teorica avanzata
Settore MAT/05
Periodo Secondo Semestre
Tipo insegnamento Obbligatorio (Required)
Tipo attività Attività formativa monodisciplinare
Lingua insegnamento Italiano
Contenuti Il corso intende introdurre alcuni aspetti fondanti dell'analisi funzionale lineare, presentando problemi e applicazioni che derivano da mondo fisico, biologico, chimico ed economico.
Testi di riferimento H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Universitext, Springer, 2011. xiv+599 pp.

P. Harjulehto, P. Hästö, Orlicz spaces and generalized Orlicz spaces, Lecture Notes in Mathematics, 2236, Springer, Cham, 2019, x+167 pp.

G. Morosanu, Functional analysis for the applied sciences, Universitext, Springer, Cham, 2019, xii+432 pp.
Obiettivi formativi Acquisizione e familiarità delle proprietà basilari dell'analisi funzionale e degli spazi di Banach. La materia costituisce parte del contenuto di un corso riformato di secondo livello per le lauree magistrali in Matematica italiane. Anche l'impostazione è riformata, e i libri di testo adottati sono ricchi di esempi e controesempi, e dunque ottimali per raggiungere una buona comprensione delle definizioni e degli enunciati dei teoremi.
Il corso ha l’obiettivo di analizzare gli argomenti base di analsi funzionale in spazi di Banach, trattando in modo diffuso la disciplina come si insegna da anni in ambito nazionale e internazionale. In tal senso, al termine del corso gli studenti dovrebbero essere in grado di:
- conoscere gli elementi base di analisi funzionale e come essi si applichino alle scienze della natura,
- possedere competenze computazionali per la risoluzione di esercizi vari,
- leggere e comprendere testi di Analisi Funzionale,
- fornire autonomamente una dimostrazione di enunciati semplici, con spiccata capacità di ragionamento,
- comunicare in lingua italiana le conoscenze matematiche acquisite nel corso e le problematiche connesse,
- lavorare in gruppo, ma anche in autonomia.
Le competenze enunciate sono indispensabili sia in ambito delle professioni tradizionali del matematico, sia per le attività del matematico in ambito lavorativo di tipo tecnico e/o industriale.
Prerequisiti Per comprendere al meglio gli argomenti trattati nell'insegnamento è opportuno conoscere i concetti base di Analisi Matematica acquisiti in una qualunque Laurea Triennale in Matematica, Fisica e/o Ingegneria. In particolare, l'insegnamento si propone di avvicinare lo studente a teorie che svolgono un ruolo centrale nella matematica moderna, come l'analisi funzionale in spazi di Banach e le topologie deboli con il loro uso nelle applicazioni.
Metodi didattici Il corso si articola in lezioni frontali, nelle quali vengono svolti numerosi esercizi esemplificativi per agevolare la comprensione del corso. Gli argomenti essenziali vengono riassunti in dispense fornite dal docente. Il corso è di 63 ore di teoria ed è ricco di diversi esempi e controesempi (quasi 20 ore sono rivolte allo svolgimento di esercizi). Nell'orario di ricevimento gli studenti potranno essere seguiti in modo personalizzato, anche per appuntamento su loro richiesta.

Per comprendere al meglio gli argomenti trattati nell'insegnamento è opportuno conoscere i concetti base di Analisi Matematica acquisiti in una qualunque Laurea Triennale in Matematica, Fisica e/o Ingegneria. In particolare, l'insegnamento si propone di avvicinate lo studente a teorie che svolgono un ruolo centrale nella matematica moderna, come l'analisi funzionale in spazi di Banach e le topologie deboli con il loro uso nelle applicazioni.
La frequenza alle lezioni, anche se non obbligatoria, è vivamente raccomandata per una buona comprensione della materia.
Altre informazioni Il docente distribuirà materiale didattico utile per una migliore comprensione del corso, allo scopo di facilitare la preparazione dell'esame. In via sperimentale, con l'accordo degli studenti frequentanti, il corso potrebbe essere svolto, interamente o in parte, in lingua Inglese. Anche l'esame può svolgersi in lingua Inglese a richiesta dello studente.

Il corso si articola in 6 ore alla settimana e l'orario è disponibile alla pagina web http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-magistrale/orario-lezioni

Consultazione degli studenti in orario di ricevimento di tipo personalizzato, anche per appuntamento su richiesta degli studenti.
Modalità di verifica dell'apprendimento L'esame prevede una sola prova orale con lo svolgimento di alcuni esercizi. La prova orale consiste in una discussione su tre argomenti, ognuno articolato in più domande, ed è della durata di circa 30 minuti. La prova orale è finalizzata ad accertare il livello di conoscenza raggiunto dallo studente sui contenuti teorici e sulle metodologie trattate nel corso (teoremi fondamentali del corso, definizioni, esempi e controesempi). La prova orale consente infine di verificare la capacità di comunicazione dello studente con proprietà di linguaggio e la sua abilità di organizzare l'esposizione in modo autonomo.

Le prove orali di esame si articolano in almeno 8 appelli e il calendario è disponibile alla pagina web http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-magistrale/calendario-esami

Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa
Programma esteso Spazi di Hilbert: generalità e dualità. Spazi normati e spazi di Banach: il Teorema di Hahn Banach e sue applicazioni. Spazi riflessivi; Teorema dell'Uniforme Limitatezza e sue applicazioni; forte e debole convergenza e applicazioni; il Teorema dell'Applicazione Aperta e il Teorema del Grafico Chiuso e applicazioni. Proprietà degli spazi di Banach riflessivi. Topologie deboli: spazi lineari topologici localmente convessi; dualità e topologie deboli. Le topologie debole e debole stella; il Teorema di Banach-Alaoglu; operatori limitati e topologie deboli; il spazi normati uniformemente convessi e loro geometrie; Teorema di Milman-Pettis; Teoremi vari sulle convergenze deboli e forti in Lp(A); Teoremi di rappresentazione Riesz representation theorems; Convoluzione e regolarizzazione: Teorema di Young nelle due forme e applicazioni; Mollificatori e teoremi di approssimazione; Teorema di Ascoli–Arzelà, Teorema di Kolmogorov–Riesz–Fréchet e Teorema di Dunford–Pettis.
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