Unit CALCULUS

Course
Business administration
Study-unit Code
2002109
Location
PERUGIA
Curriculum
In all curricula
CFU
9
Course Regulation
Coorte 2019
Offered
2019/20
Learning activities
Base
Area
Statistico-matematico
Academic discipline
SECS-S/06
Type of study-unit
Obbligatorio (Required)
Type of learning activities
Attività formativa monodisciplinare

CALCULUS - Cognomi A-L

Code 2002109
Location PERUGIA
CFU 9
Teacher Mauro Pagliacci
Teachers
  • Mauro Pagliacci
Hours
  • 63 ore - Mauro Pagliacci
Learning activities Base
Area Statistico-matematico
Academic discipline SECS-S/06
Type of study-unit Obbligatorio (Required)
Language of instruction Italian
Contents 1. PARTE INTRODUTTIVA – La Matematica come metodo e come strumento. Richiami di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi. Funzioni tra insiemi. Insiemi di numeri: numeri naturali, interi, razionali e reali. Struttura algebrica e struttura d’ordine di R. Insiemi densi e completi. Estremo superiore ed estremo inferiore. Intorni. Punti di accumulazione. Punti isolati, interni, esterni e di frontiera. Non numerabilità di R. Insiemi finiti ed infiniti. Cenni sui numeri complessi e sul teorema fondamentale dell'Algebra.
2. FUNZIONI ELEMENTARI – Funzioni reali di variabile reale e loro grafico. Successioni. Equazioni e disequazioni. L'equazione cartesiana della retta e della circonferenza. Grafici di funzioni elementari e loro trasformazioni nel piano: la retta, la parabola e l'iperbole e la funzione radice quadrata e radice cubica, le funzioni potenza, la funzione esponenziale e la funzione logaritmica, cenni sulle funzioni trigonometriche: proprietà e relazioni; risoluzione dei triangoli rettangoli. Funzioni pari e dispari. Funzioni limitate. Funzioni composte. Funzione inversa. Funzioni monotòne. Punti di massimo e di minimo. Funzioni convesse e concave. Epigrafico di una funzione.
3. LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI. FUNZIONI CONTINUE – Definizione intuitiva di limite per funzioni e per successioni. Funzioni continue. Calcolo di limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Discontinuità di prima e seconda specie. Discontinuità eliminabile. Teoremi sulle funzioni continue. Infinitesimi ed infiniti.
4. ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE E OTTIMIZZAZIONE – Definizione di derivata. Derivata destra e derivata sinistra. Significato geometrico. Legami tra continuità e derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata logaritmica. Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni differenziabili. Elasticità di una funzione. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teoremi di de l'Hôpital. Formula di Taylor. Funzioni crescenti e decrescenti. Punti di massimo e di minimo. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Asintoti. Studio di funzioni.
5. CENNI SUGLI INTEGRALI – L'integrale definito e le sue proprietà. Teorema del valor medio. Primitive di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale e conseguenze. L'integrale indefinito.
6. ALGEBRA LINEARE – Lo spazio vettoriale Rn. Operazioni tra vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante di una matrice quadrata. Caratteristica di una matrice. Sistemi lineari.
7. CENNI SULLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI – Funzioni di più variabili. Grafico di funzioni di due variabili. Curve di livello. Derivate parziali e loro significato geometrico. Massimi e minimi liberi e vincolati.
Reference texts P. BOIERI – G. CHITI, Precorso di matematica, Zanichelli, Bologna, 1994 (per i punti 1. e 2.)
L. PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Matematica per l'Economia e l'Azienda, Egea 2018 (per i punti 3., 4., 5., 6., 7.).
Educational objectives Mettere in grado gli studenti di usare lo strumento matematico nelle applicazioni di carattere aziendale, economico, finanziario e statistico.
Prerequisites Non ci sono perquisisti. Gli argomenti necessari per la comprensione del corso già studiati nella scuola superiore vengono comunque trattati nella parte propedeutica del corso
Teaching methods Lezioni propedeutiche, lezioni, esercitazioni a attività di tutorato
Other information Il superamento del corso permette l’acquisizione di 9 crediti. Alcuni argomenti, essendo già noti agli studenti perché trattati in tutte le scuole secondarie superiori, sono ritenuti propedeutici al corso. Per completezza e organicità gli argomenti propedeutici saranno di nuovo trattati durante le lezioni. Pertanto le ore complessive del corso saranno superiori a quelle previste dal numero di crediti attribuiti alla disciplina e saranno articolate nel seguente modo:
• 73 ore di lezione (di cui 10 per la parte propedeutica)
• 24 ore di esercitazioni
• 12 ore di attività di supporto alla didattica e di recupero (non contribuiscono al computo dei crediti)
Learning verification modality Esame scritto con possibilità di svolgimento anche dell'orale. Sarà svolta una prova intermedia ed una prova di completamento.
Extended program Presentazione e introduzione al corso. Modalità di organizzazione del corso e regole per il superamento dell'esame. La matematica come metodo e come strumento. Assiomi e teoremi. Il metodo ipotetico deduttivo. Modellizzazione e formalizzazione di contratti.
Notazioni e operazioni tra insiemi. Unione e intersezione tra insiemi Differenza tra insiemi e prodotto cartesiano. Insiemi di numeri: i numeri naturali e la loro struttura algebrica.
I numeri interi e razionali e reali e la loro struttura algebrica. Insiemi densi e completi. Q e denso, R è completo. Sottoinsiemi di R: intervalli e semirette. L'asse reale e il piano cartesiano.
Il concetto di funzione reale di variabile reale. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Il grafico di una funzione per punti. Proprietà geometriche delle funzioni iniettive e suriettive.
Funzioni lineari. Equazioni e disequazioni di primo grado. Traslazioni del grafico di una funzione verso l’alto e verso il basso. Dal grafico di f(x) a quello di –f(x)
Soluzione grafica di equazioni e disequazioni. Le funzioni quadratiche (casi particolari) e le relative equazioni e disequazioni di secondo grado. Funzioni pari e dispari.
Traslazioni del grafico di una funzione a destra e a sinistra. Una generica funzione quadratica come traslata di una parabola con vertice nell’origine. Equazioni e disequazioni di secondo grado
La funzione valore assoluto di un numero reale e le sue traslate. Dal grafico di f(x) a quello di |f(x)|. Equazioni e disequazioni con il modulo. Funzioni del tipo ax^3.
Funzioni del tipo ax^3 e loro traslate. Esempi ed esercizi Cenni al teorema fondamentale dell’Algebra. Dal grafico di f(x) a quello di f(-x) e di f(|x|).
Le funzioni del tipo a/x e le loro traslate. Richiami sulle equazioni e disequazioni fratte e sulla divisione tra polinomi.
Il grafico di una generica funzione del tipo (ax+b)/(cx+d) come traslata di una iperbole equilatera.
La funzione radice di x e le sue traslate. Alcune equazioni e disequazioni irrazionali. Le funzioni del tipo x^a. Le potenze con esponente razionale. Funzioni esponenziali e loro traslate.
Il logaritmo come soluzione dell’equazione esponenziale. Proprietà dei logaritmi; cambiamento di base. La funzione logaritmica.
Traslate delle funzioni logaritmiche. Alcune equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Dilatate e traslate delle funzioni logaritmiche. Alcune equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali.
Funzioni composte. Funzioni inverse. La funzione radice come inversa della quadratica e la funzione logaritmo come inversa della esponenziale (e viceversa). Dal grafico di f a quello di f-1.
Funzioni monotone: crescenti, decrescenti, non crescenti e non decrescenti.
Intorni di un punto. Punti di massimo e di minimo locali ed assoluti. Maggioranti, minoranti, estremo superiore e inferiore di un sottoinsieme di R.
Esercizi sulle traslazioni di funzioni elementari
Successioni. Insiemi limitati. Funzioni limitate. Punti di accumulazione e punti isolati.
Limiti di funzioni: definizione intuitiva e rigorosa. Limiti di funzioni: casi particolari (aspetti geometrici e def di limite).
Ancora casi particolari. Limite destro e limite sinistro. Teorema di unicità del limite. Operazioni tra limiti. Forme indeterminate. Calcolo di limiti di funzioni.
Esercizi sul calcolo dei limiti.
Esercizi sulle traslazioni di funzioni elementari e sul dominio, zeri e segno di funzioni
Limiti di successioni. Limite della successione geometrica. Limiti di successioni monotone. Teorema del limite del prodotto tra una funzione limitata e una tendente a zero.
Il numero di Nepero come limite di una successione. Esercizi sui limiti di successioni
Teorema del confronto. Infinitesimi e infiniti. Confronto tra infiniti. Teorema di cancellazione per infiniti (con dim.).
Calcolo di domini, zeri e segno di funzioni e di limiti di successionii
Infinitesimi e infiniti. Confronto tra infiniti. Teorema di cancellazione per infiniti (con dim.).
Confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione per infinitesimi.
Funzioni continue. Continuità a destra e a sinistra. Continuità
delle funzioni elementari. La funzione parte intera di un numero reale x.
Esercizi di preparazione alla prova intermedia
Esercizi di preparazione alla prova intermedia
Esercizi di preparazione alla prova intermedia
Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass.
Incrementi assoluti e relativi. Rapporto incrementale. Significato geometrico del rapporto incrementale.
Funzioni derivabili in un punto. Derivata prima. Significato geometrico della derivata prima. Derivata destra e sinistra. La funzione derivata prima. Ogni funzione derivabile è continua (con dim.). Vari casi di funzioni continue, ma non derivabili. Calcolo di derivate di funzioni elementari.
Calcolo di derivate di funzioni elementari e algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte.
Calcolo di derivate. Funzioni differenziabili.
Calcolo di derivate.
Equivalenza tra differenziabilità e derivabilità (con dim.). Il differenziale e il suo significato geometrico. Uso del differenziale nel calcolo approssimato
Elasticità d’arco ed elasticità puntuale. Elasticità della funzione domanda e della funzione costo. Introduzione all’ottimizzazione. Teorema di Fermat (con dim.). Teorema di Lagrange (o del valor medio). Conseguenze del teorema di Lagrange. Il teorema di Rolle. Ogni funzione con derivata nulla è costante (con dim.)
Test di monotonia (con dim.). Esercizi. sul test di monotonia.
Ancora esercizi sul test di monotonia. Teorema di de l’Hospital.
Esercizi sul calcolo di derivate, sul differenziale e sul test di monotonia.
Ordine di infinito e di infinitesimo dell’esponenziale e del logaritmo. Derivate successive. Formula di Taylor e di Mc Laurin. Uso della formula di Taylor nel calcolo approssimato.
Grafico di e^x e dei polinomi di Taylor che la approssimano. Insiemi convessi e funzioni convesse. Test per la convessità. Esempi di determinazione della convessità.
Primitive di una funzione. Due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante (con dim.). Integrale indefinito. Calcolo di integrali indefiniti immediati.
Integrazione per decomposizione. Integrazione per sostituzione. Calcolo di integrali indefiniti.
Esercizi sullo studio di funzioni e sulla formula di Taylor
Integrazione per parti. Calcolo di integrali indefiniti. Integrale definito. Funzioni integrabili.
Proprietà dell’integrale definito. Teorema della media (con dim.). Funzione integrale. Teorema di Torricelli Barrow (con dim.) e Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.).
Calcolo di integrali definiti. Calcolo di aree. Dal grafico di f’(x) al grafico di f(x).
Introduzione all’algebra lineare. Vettori in R^n. Rappresentazione geometrica di vettori in R^2 e in R^3. Uguaglianza e ordinamento tra vettori. Somma tra vettori. Significato geometrico della somma tra vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare e suo significato geometrico.
Esercizi sullo studio di funzione e calcolo di integrali.
Combinazioni lineari. Sottospazi vettoriali di R^2 e R^3. Prodotto scalare (o prodotto interno) tra vettori.
L’insieme delle combinazioni lineari di k vettori è un sottospazio di R^n. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi e dimensioni di un sottospazio
Matrici. Uguaglianza, matrici trasposte. Operazioni tra matrici: somma e prodotto per uno scalare. Prodotto tra matrici.
Proprietà del prodotto tra matrici. Determinante di una matrice quadrata 2x2 e suo significato geometrico. Relazione tra dipendenza lineare e determinante. Determinante di una matrice 3x3. Calcolo del determinante con Excel.
Esercizi su calcolo di integrali e di aree. Esercizi di preparazione alla prova scritta d’esame
Rango di una matrice
Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli (con dim.). Regola di Cramer. Risoluzione di un sistema lineare.
Molteplicità delle soluzioni. Sistemi lineari omogenei. Esempi di risoluzione di sistemi lineari.
Funzioni di più variabili. Grafico e curve di livello. Derivate parziali.
Esercizi di algebra lineare
Calcolo di derivate parziali. Intorni in R^2. Punti stazionari. Massimi e minimi liberi e vincolati per funzioni di due variabili. Funzioni di n variabili.

CALCULUS - Cognomi M-Z

Code 2002109
Location PERUGIA
CFU 9
Teacher Davide Petturiti
Teachers
  • Davide Petturiti
Hours
  • 63 ore - Davide Petturiti
Learning activities Base
Area Statistico-matematico
Academic discipline SECS-S/06
Type of study-unit Obbligatorio (Required)
Language of instruction Italian
Contents 1. Introductory part
2. Elementary functions
3. Limits of functions and of infinite sequences, continuous functions
4. Elements of differential calculus and optimization
5. Elements of integration
6. Linear algebra
7. Elements of functions of several variables
Reference texts P. BOIERI, G. CHITI, Precorso di matematica, Zanichelli, Bologna, 1994 (for points 1. and 2. of the programme).
L. PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Matematica per l'Economia e l'Azienda, Egea, 2004 (for points 3., 4., 5., 6., 7. of the programme).
Educational objectives At the end of the course students will possess and will be able to use the main mathematical tools, suitable to business, economic, financial and statistical applications.
Prerequisites Basic mathematical notions, being already known to students since faced during every upper secondary school, are assumed to be preparatory to the course. For a sake of completeness and uniformity, preparatory topics are again considered during lectures.
Teaching methods The course is organized in face-to-face lectures and exercise sessions.
Some topics, being already known to students since faced during every upper secondary school, are assumed to be preparatory to the course. For a sake of completeness and uniformity, preparatory topics are again considered during lectures. Therefore, the global amount of teaching hours will exceed that corresponding the number of credits assigned to the subject and will be divided as follows:
73 hours of theoretical lectures (of which 10 hours on preparatory topics);
24 hours of exercise sessions;
12 hours of teaching support and consolidation (not counted in the total amount of credits).
Other information Besides teaching and exercise hours, there will be extra hours of teaching support – mainly finalized to training for the written exam and to filling possible knowledge gaps – given either in lecture form or as individual meetings. Such activity will tentatively start at the beginning of October.
Learning verification modality The exam can be taken in two alternative modalities (a) and (b) explained below.
In every case, the student must bring his university id card during the exam.
(a) Standard exam:
The exam is organized in a written test, including also theoretical questions, and in an oral test.
A student is admitted to the oral test in case his mark in the written test is greater or equal to 15/30. The evaluation of the written test can be confirmed, after a discussion on the correction of the written test, if the mark is between 18/30 and 26/30.
Students with a mark in the written test between 15/30 and 17/30 and those with a mark greater or equal to 27/30 must take the oral test. Every student passing the written test can anyway take the oral test.
The discussion of the written test or the oral test must be taken before February, if the written test has been taken during the winter term (January-February) and before September if the written test has been taken during the summer term (June-July-September).
A student not passing the written or oral test can take the next examination in the same term.
(b) Exam in the form of an intermediate written test and a completion written test:
For interested students, there is the opportunity to take an intermediate written test, during the teaching break, covering the first part of the programme. Passing the intermediate written test guarantees the access to a completion written test that will take place during the first examination date of the winter term in January.
The intermediate and completion written tests are unique. Such tests are passed if the mark in both of them is greater or equal to 15/30. Students not passing either the intermediate or completion written test can take the exam according to the standard modality (a), during the first available examination date.
Both the intermediate and completion written tests are not limited to students attending the first year.
Students passing both tests with an average mark (rounded by ceiling) which is sufficient (= 18/30), can skip the oral test, getting as final evaluation the average of the two marks.
Every student passing the written tests (intermediate and completion), can anyway take the oral exam.
In any case, students must take the oral exam in the following two cases:
• If the average of the marks in the intermediate and completion written tests is = 27/30;
• If the average of the marks in the intermediate and completion written tests is 15, 16 or 17.
The registration to the intermediate written test and the standard written test must be through the site: www.segreterie.unipg.it.
Teaching material, old written tests and other information on the course are available in the site: http://www.ec.unipg.it/DEFS/matematica-generale.html.
Extended program 1. Introductory part – Mathematics as method and tool. Recall on set theory. Operations on sets. Functions between sets. Sets of numbers: natural, integer, rational and real numbers. Algebraic and order structure of R. Dense and complete sets. Infimum and supremum. Neighborhoods. Accumulation points. Isolated, interior, external and border points. Non-denumerability of R. Finite and infinite sets. Hints on complex numbers and on the fundamental theorem of Algebra.
2. Elementary functions – Real functions of a real variable and their graph. Infinite sequences. Equations and inequalities. The Cartesian equation of the line and of the circumference. Graphs of elementary functions and their transformations on the plane: the line, the parabola, the hyperbola, the square and cubic root, the power function, the exponential function and the logarithmic function, hints on trigonometric functions: properties and relations; solutions of right triangles. Even and odd functions. Bounded functions. Compound functions. Inverse function. Monotonic functions. Maxima and minima. Convex and concave functions. Epigraph of a function.
3. Limits of functions and of infinite sequences, continuous functions – Intuitive definition of limit for functions and infinite sequences. Continuous functions. Computation of limits. Indeterminate forms. Remarkable limits. Discontinuity of first and second type. Removable discontinuity. Theorems on continuous functions. Infinitesimals and infinites.
4. Elements of differential calculus and optimization – Definition of derivative. Right and left derivative. Geometric meaning. Connections between continuity and derivability. Derivatives of elementary functions. Derivation rules. Logarithmic derivative. Derivative of higher order. Differentiable functions. Elasticity of a function. Rolle, Lagrange and Cauchy’s theorems. de l'Hôpital’s theorems. Taylor’s formula. Increasing and decreasing functions. Maximum and minimum points. Convex and concave functions. Inflection points. Asymptotes. Study of functions.
5. Elements of integration – Definite integral and its properties. Mean value theorem. Primitives of a function. Fundamental theorem of calculus and its consequences. Indefinite integral.
6. Linear algebra – The vector space Rn. Operations on vectors. Linear dependent and independent vectors. Matrices. Operations on matrices. Determinant of a square matrix. Rank of a matrix. Linear systems.
7. Elements of functions of several variables – Functions of several variables. Graph of functions of several variables. Contour lines. Partial derivatives and their geometric meaning. Free and constrained maxima and minima.
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