Università degli Studi di Perugia

Insegnamento ANALISI MATEMATICA II

Nome del corso di laurea	Matematica
Codice insegnamento	55001909
Curriculum	Comune a tutti i curricula
Docente responsabile	Tiziana Cardinali
Docenti	Tiziana Cardinali
Ore	73 Ore - Tiziana Cardinali
CFU	9
Regolamento	Coorte 2022
Erogato	Erogato nel 2023/24
Erogato altro regolamento
Attività	Base
Ambito	Formazione matematica di base
Settore	MAT/05
Anno	2
Periodo	Primo Semestre
Tipo insegnamento	Obbligatorio (Required)
Tipo attività	Attività formativa monodisciplinare
Lingua insegnamento	ITALIANO
Contenuti	Funzioni di più variabili: continuità, differenziazione, ottimizzazione e Lebesgue integrazione. Integrali su curve. Forme differenziali e loro integrazione.
Testi di riferimento	1) C. CANUTO, A. TABACCO Analisi Matematica II, Springer-Verlag , 1nd 2008 o 2nd Ed., 2014 o la versione in inglese: 1)' C. CANUTO, A. TABACCO Mathematical Analysis II, Springer-Verlag , 2nd Ed., 2015 Sull'argomento "Integrazione alla Lebesgue in R^n" ed esercizi sul programma svolto saranno resi disponibili sulla piattaforma Unistudium. Altri testi consigliati: M. BRAMANTI, C.D. PAGANI, S. SALSA, Analisi matematica 2, Zanichelli, 2009. M. BRAMANTI, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Ed. Esculapio, Bologna, 2012. G. BUTTAZZO, V. COLLA, Temi di esame di Analisi Matematica II, Pitagora, 2001. M. AMAR, A. M. BERSANI, Esercizi di Analisi Matematica per i Nuovi Corsi di Laurea, Progetto Leonardo Ed. Esculapio, 2002. Gli studenti lavoratori, gli studenti non frequentanti , disabili e/o con DSA sono invitati a farlo presente al docente titolare del corso al fine di poter interagire al meglio con lo studente.
Obiettivi formativi	L'insegnamento rappresenta il secondo corso di Analisi Matematica ed esamina gli elementi di base relativi alle funzioni di più variabili con particolare attenzione alla loro differenziazione e integrazione alla Lebesgue e gli elementi di base relativi ai campi conservativi e alla loro integrazione. L'obiettivo principale dell'insegnamento consiste nel fornire agli studenti le basi per affrontare lo studio di argomenti come quello delle equazioni differenziali ordinarie o delle equazioni differenziali alle derivate parziali e gli argomenti che interessano la geometria differenziale. Inoltre la presentazione della teoria di integrazione alla Lebesgue ha come obiettivo quello di gettare le basi di alcuni argomenti che verranno presentati nello studio della probabilità. Alla fine del corso gli studenti dovrebbero: - aver acquisito le proprietà di continuità, differenziabilità, ottimizzazione (sia libera che vincolata) e integrazione (sia sui domini che sulle curve) per funzioni di più variabili e aver acquisito i principali elementi sullo studio dei campi conservativi e sulla loro integrazione sulle curve. - possedere competenze computazionali per la risoluzione di esercizi sugli argomenti del corso. - saper esporre con un linguaggio appropriato le proprietà e le dimostrazioni sul calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e sui campi conservativi. - saper comunicare agli altri le conoscenze matematiche acquisite nel corso e le problematiche connesse. - comprendere le procedure che permettono di applicare i contenuti del corso con le altre discipline, in particolare alla Fisica. - acquisire un metodo analitico nell'affrontare i problemi e gli esercizi - essere in grado di fornire autonomamente una dimostrazione di enunciati semplici pertinenti agli argomenti affrontati nel corso - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette e di individuare ragionamenti non corretti; - pensare in modo critico ed esprimere concetti matematici con precisione per iscritto - avere le basi per affrontare il corso di Analisi Matematica III - saper leggere e comprendere un qualunque testo di Analisi Matematica che tratti gli argomenti descritti in programma - saper applicare le conoscenze acquisite nel corso in altre situazioni e discipline. - applicare le conoscenze e le abilità acquisite nell'analisi matematica per analizzare e gestire nuove situazioni in modo critico. - saper comunicare le conoscenze matematiche acquisite nel corso. Le competenze enunciate sono a mio avviso indispensabili per un matematico che si voglia dedicare all'insegnamento ma anche per un matematico che desideri svolgere un' attività professionale di tipo tecnico e/o industriale.
Prerequisiti	Al fine di comprendere e saper applicare la maggior parte delle tecniche descritte nell'insegnamento è opportuno aver sostenuto con successo l'esame di Analisi Matematica I in quanto gli argomenti trattati nel corso richiedono la capacità di saper studiare disequazioni, limiti, di saper derivare ed anche di essere in grado di risolvere integrali di funzioni di una variabile. La conoscenza di queste tecniche rappresenta un prerequisito indispensabile per lo studente che voglia seguire il corso con profitto. Tali prerequisiti sono concetti che si incontrano non solo nel corso base di matematica sopra indicato ma anche, come si deduce dai programmi di matematica delle scuole secondarie di secondo grado, nella formazione scolastica pre-universitaria. Per gli studenti non frequentanti i prerequisiti sono lo studio delle disequazioni, studio dei limiti, proprietà di derivazione e di integrazione per funzioni di una variabile, argomenti che sono presenti nei programmi di matematica delle scuole secondarie di secondo grado, nella formazione scolastica pre-universitaria.
Metodi didattici	Il corso è organizzato nel seguente modo: - Lezioni frontali ed esercitazioni su tutti gli argomenti del corso (73 ore frontali: 63 ore per lo svolgimento del programma del corso e 10 ore in aula per lo svolgimento delle esercitazioni) - ricevimento studenti presso lo studio del docente o online su Teams: saranno dedicate due ore alla settimana per un ricevimento più personalizzato al quale gli studenti sono invitati a partecipare anche in piccoli gruppi (il discuterne insieme aiuta anche lo studente che pensa di saper svolgere l'esercizio o conoscere l'argomento proposto). Inoltre, per il supporto alla didattica le lezioni saranno integrate con attività di Studio Assistito che consentiranno al docente di svolgere un'attività formativa per l'apprendimento dei concetti presentati a lezione. Durante le ore dedicate allo Studio Assistito, che si svolgeranno per l'intera durata del corso, gli studenti sono invitati a chiarire con il docente gli argomenti trattati nella settimana precedente e a confrontarsi tra loro e con il docente sugli argomenti trattati. Queste ore sono finalizzate ad una maggiore comprensione ed approfondimento delle proprietà, definizioni e dimostrazioni presentate a lezione. Per ogni argomento il docente illustrerà durante le ore di Studio Assistito esercizi, che saranno quelli proposti nelle prove scritte di esame degli anni precedenti. (Vedi: https://www.unistudium.unipg.it/unistudium/) - un'altra strategia utilizzata come supporto alla didattica è l'attività di Tutorato che verrà svolta da uno studente capace e meritevole, come stabilito dal Consiglio di Intercorso, in ore aggiuntive alle lezioni svolgerà, sotto la guida del docente, ulteriori esercizi in preparazione delle prove di esonero e delle prove di esame. - infine, è intenzione del docente predisporre due prove di esonero che invitino gli studenti a studiare gli argomenti in modo calibrato e ad avere anche la possibilità con uno studio distribuito lungo tutto il corso di poter sostenere l'esame più facilmente e negli appelli d'esame fissati nell'anno accademico in corso. - il libro di testo utilizzato risponde alle esigenze del corso che sono quelle di presentare una parte dei contenuti riformati di Analisi Matematica indicati per un corso di secondo livello per le lauree triennali in matematica italiane. - gli argomenti presentati sono accompagnati da esempi e controesempi allo scopo per raggiungere una buona comprensione delle definizioni e degli enunciati dei teoremi. - al termine di uno o più argomenti affini verranno svolti dal docente degli esercizi tratti dalle prove di esame che permettano di approfondire gli argomenti svolti e di relazionarli. - Se al corso verrà affiancata anche un'attività di stage, allora il corso potrà essere supportato anche dalla presenza di uno studente, che ha già superato con profitto il corso, che si occuperà di svolgere un ulteriore attività di supporto sugli argomenti trattati a lezione. - Numerosi esercizi e materiale didattico sono reperibili nella pagina web curata dal docente (o all'indirizzo: https://www.unistudium.unipg.it/unistudium/) e per essi è fornito anche lo svolgimento. Ulteriore materiale per la preparazione della prova scritta, oltre quello segnalato in bibliografia, si può trovare in tutti gli eserciziari aventi come argomento l'Analisi Matematica 2 che sono consultabili in biblioteca. - Nel caso ci siano studenti lavoratori, studenti non frequentanti o disabili e/o con DSA il docente ha prerarato slides e delle dispense in italiano , disponibili sulla piattaforma Unistudium. In ogni modo consiglio gli studenti non frequentanti di segnalarlo al docente all'inizio delle lezioni per decidere insieme la strategia più adatta per arrivare ad una buona preparazione dell'esame. Alcuni consigli: 1. Leggi gli esercizi svolti sul testo o dal docente attentamente, completando gli eventuali passaggi mancanti (chiedi aiuto durante l'orario di ricevimento al docente se non è chiaro lo svolgimento dell'esercizio). 2. In un secondo momento prova a risolvere da solo/a gli esercizi con soluzione senza guardare lo svolgimento, 3. Tieni presente che a volte uno stesso esercizio può essere svolto con diversi metodi, quindi non dedurre che il procedimento da te seguito sia sicuramente non corretto. Se non ti è chiaro se i due procedimenti sono equivalenti o se uno dei due è sbagliato chiedi aiuto al docente.
Altre informazioni	Il corso si divide in 6+2 ore alla settimana. L'orario delle lezioni è reperibile all'indirizzo: http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-triennale/orario-lezioni - Aule lezioni: http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-triennale/orario-lezioni - La frequenza non è obbligatoria, ma è fortemente consigliata. - Potrebbe essere prevista attività di Tutoraggio o di Stage. Tale Tutoraggio/Stage, coordinato dal docente, avrà come obiettivo quello di aiutare gli studenti nello studio e nella comprensione degli argomenti del corso, con particolare attenzione allo svolgimento degli esercizi sugli argomenti del corso. - Nell'orario di ricevimento (https://www.unipg.it/personale/tiziana.cardinali/didattica) gli studenti verranno seguiti anche anche in modo personalizzato. - Materiale e notizie relative al corso sono reperibili all'indirizzo: https://www.unistudium.unipg.it/unistudium/ - Le lezioni saranno accompagnate da sessioni di esercitazioni. Il docente distribuirà materiale didattico sull'argomento: Integrazione Lebesgue (in italiano) utile per una migliore comprensione di questo argomento. Si articola in 8 appelli di esame disponibili alla pagina web http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-triennale/calendario-esami - Commissione: T. Cardinali, I. Benedetti, (A.Boccuto, R.Filippucci, P. Pucci, P. Rubbioni, A. Sambucini, E. Vitillaro). - Puoi trovare l'aula in cui si svolge la prova d'esame alla pagina web: http: //www.segreterie.unipg.it/self/gissweb.home - Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa - Alcuni suggerimenti: Non perdere la lezione. Fare domande. Vai in orario d'ufficio tutte le volte che è necessario. - Alcuni suggerimenti per l'esame: È necessario conoscere la terminologia utilizzata durante questo corso. Infine, molti dei problemi in questo corso avranno più tecniche di soluzione e quindi dovrai essere in grado di identificare tutte le tecniche possibili e quindi decidere quale sarà la tecnica più semplice da usare. - Tutti i cellulari e i dispositivi elettronici che trasmettono in modalità wireless devono essere spenti durante la prova scritta. Le modalità vibrazione o silenzio non sono consentite. Non sono ammessi laptop, iPod, traduttori di lingue o qualsiasi dispositivo in grado di ricevere un segnale wireless. La prova scritta finale non si svolge nella consueta aula. Troverai le assegnazioni delle aule di esame su http: //www.segreterie.unipg.it/self/gissweb.home Esiste una pagina Web che contiene la descrizione del corso e altre informazioni relative a questo corso: https://www.unipg.it/personale/tiziana.cardinali/didattica - News on: https://www.unistudium.unipg.it/unistudium/
Modalità di verifica dell'apprendimento	L'esame prevede una prova scritta con domande a risposta aperta e una prova orale. La prova scritta consiste nella soluzione di tre problemi a carattere computazionale, ma anche volti a valutare le capacità logico-deduttive dello studente. La prova scritta ha la durata di tre ore ed è finalizzata a verificare le capacità di applicare correttamente le conoscenze teoriche, la capacità di comprensione delle problematiche proposte e la capacità di comunicare in modo scritto. E' consigliato sostenere l'esame orale se sull'elaborato scritto si è raggiunto un punteggio maggiore o uguale a 15/30. La prova scritta può essere sostituita da due prove in itinere, la prima delle quali avrà luogo nel periodo fine novembre primi di dicembre (da concordare con gli studenti che seguono il corso o durante la settimana di interruzione delle lezioni, qualora essa sia stabilita dal Consiglio di Corso di Laurea proprio per svolgere le prove in itinere), la seconda avrà luogo invece al termine delle lezioni. Gli studenti che hanno conseguito in media sui due elaborati delle prove in itinere una votazione maggiore o uguale a 18/30 possono accedere alla prova orale. Altrimenti la prova scritta potrà avere luogo in uno degli 8 appelli d'esame fissati nel Calendario Esami. Si può sostenere la prova orale nello stesso appello della prova scritta se su quest'ultima si è conseguita una votazione maggiore o uguale a 15/30. Si può sostenere la prova orale nell'appello successivo a quello in cui si è sostenuta la prova scritta se su quest'ultima si è conseguita una votazione maggiore o uguale a 18/30. Qualora la prova orale non sia sufficiente il docente deciderà se è necessario ripetere anche la prova scritta, dipende dalle motivazioni che hanno portato ad una valutazione non sufficiente della prova orale (ad esempio: una prova orale non sufficiente che avviene a seguito di una prova scritta con votazione < 18 richiede di ripetere anche la prova scritta, mentre una prova teorica insufficiente a seguito di una prova scritta con valutazione > 18 può portare a decidere di ripetere solo la prova teorica). Gli esoneri superati hanno validità fino all’ultimo appello della sessione di Gennaio/Febbraio 2024. Per la preparazione della prova scritta è importante frequentare in maniera attiva, cioè proponendo quesiti sul programma svolto e rivedendo con attenzione gli esercizi presentati a lezione o durante lo Studio Assistito o nelle ore di Tutorato, provando poi a svolgere in modo autonomo anche quelli inseriti dal docente nella pagina di Unistudium relativa al corso in oggetto. La prova orale consiste in una discussione di circa 30/40 minuti su tre argomenti proposti allo studente dalla Commissione finalizzata ad accertare il livello di conoscenza e capacità di comprensione raggiunto dallo studente sui contenuti teorici e metodologici indicati nel programma. La prova orale consentirà inoltre di verificare le proprietà di linguaggio e di organizzazione dell'esposizione sugli argomenti del programma svolto nelle lezioni del corso. Tale prova orale prevede la richiesta da parte dei membri della commissione di chiarimenti di dettaglio sui teoremi fondamentali del corso, sulle definizioni, sugli esempi e controesempi con lo scopo di accertare: la capacità di conoscenza e comprensione, la capacità di applicare le competenze acquisite, la capacità di esposizione e la capacità di apprendere e di elaborare soluzioni in modo autonomo. Per la preparazione della prova teorica è importante frequentare in maniera attiva, cioè proponendo quesiti sul programma svolto. Il posto giusto per avere chiarimenti sono le ore dedicate allo Studio Assistito e le ore dedicate al ricevimento studenti. Griglia di valutazione (si consiglia di sostenere la prova orale con una valutazione > 14/30): Se il voto prova scritta < 18/30 e la prova orale è SODDISFACENTE (cioé L'ESAME E' DA CONSIDERARSI SUPERATO PER QUANTO RIGUARDA LA PARTE DI TEORIA), il voto finale dell'esame può essere al massimo valutato 23/30 Se il voto prova scritta = o > di 18/30 e < 20/30 e la prova orale è SODDISFACENTE (cioé L'ESAME E' DA CONSIDERARSI SUPERATO ANCHE PER QUANTO RIGUARDA LA PARTE DI TEORIA), il voto finale dell'esame può essere al massimo valutato 28/30 Se il voto prova scritta = o > di 20/30 e la prova orale è SODDISFACENTE (cioé L'ESAME E' DA CONSIDERARSI SUPERATO ANCHE PER QUANTO RIGUARDA LA PARTE DI TEORIA), il voto finale dell'esame può essere al massimo valutato 30/30 e lode. Nell'eventualità fosse necessario in base alle normative di Ateneo gli esami e le prove parziali potrebbero svolgersi su piattaforma online. Per le esigenze della programmazione didattica, essendo un insegnamento senza obbligo di frequenza, in base a quanto richiesto nelle indicazioni stabilite nel Syllabus (Rev. 3 dell'11 marzo 2022) si precisa quanto segue: “Nel caso in cui lo studente intenda anticipare l’esame in un anno precedente a quello programmato nel piano di studio, si raccomanda di frequentare il ciclo delle lezioni e di sostenere l’esame nel primo appello utile dopo che le lezioni medesime siano terminate, nel rispetto quindi del semestre di programmazione dell’insegnamento”. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa
Programma esteso	Calcolo infinitesimale per le curve: funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità; curve regolari; lunghezza di un arco di curva e rettificabilità; integrali di linea di prima specie. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili: grafici e insiemi di livello; limiti e continuità per funzioni di più variabili; proprietà delle funzioni continue; derivate parziali, piano tangente, differenziale; derivate di ordine superiore, differenziale secondo, matrice Hessiana; ottimizzazione; estremi liberi. Problema delle funzioni implicite. Massimi e minimi vincolati per funzioni scalari di più variabili. Misura e integrazione secondo Lebesgue in R^n . Calcolo integrale per funzioni di più variabili: integrali doppi, metodo di riduzione, cambiamento di variabili; calcolo degli integrali tripli. Campi vettoriali: campi vettoriali e integrali di linea di seconda specie; formula di Gauss-Green nel piano; Teorema della divergenza e Teorema di Stokes per funzioni in R^2.