Università degli Studi di Perugia

Insegnamento EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Nome del corso di laurea	Matematica
Codice insegnamento	55A00088
Curriculum	Didattico-generale
Docente responsabile	Tiziana Cardinali
Docenti	Tiziana Cardinali
Ore	42 Ore - Tiziana Cardinali
CFU	6
Regolamento	Coorte 2023
Erogato	Erogato nel 2023/24
Erogato altro regolamento
Attività	Affine/integrativa
Ambito	Attività formative affini o integrative
Settore	MAT/05
Anno	1
Periodo	Secondo Semestre
Tipo insegnamento	Opzionale (Optional)
Tipo attività	Attività formativa monodisciplinare
Lingua insegnamento	ITALIANO
Contenuti	Teoremi di punto fisso e Teoremi di esistenza di soluzioni per problemi controllati da sistemi differenziali o da inclusioni differenziali.
Testi di riferimento	I contenuti del corso sono tratti dai seguenti libri: - L. C. PICCININI, G. STAMPACCHIA,G. VIDOSSICH, Equazioni differenziali ordinarie in R^n, Ed. Liguori, 1978. - J.M. A. TOLEDANO, T. D. BENAVIDES, G.L. ACEDO, Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory, Birkhauser, 1997. - L. GASINSKI, N. S. PAPAGEORGIOU. Exercises in analysis. Part 1. Problem Books in Mathematics. Springer, Cham, 2014. - L. GASINSKI, N. S. PAPAGEORGIOU. Exercises in analysis. Part 2. Nonlinear analysis. Problem Books in Mathematics. Springer, Cham, 2016. Il docente ha preparato dispense in italiano che raccolgono gli argomenti presentati a lezione. Tali dispense saranno rese disponibili sulla piattaforma Unistudium. Gli studenti lavoratori, gli studenti non frequentanti , disabili e/o con DSA sono invitati a farlo presente al docente titolare del corso al fine di poter interagire al meglio con lo studente.
Obiettivi formativi	Scopo del corso è un apprendimento critico sia delle metodologie utilizzate in letteratura per studiare l'esistenza di soluzioni per problemi in cui sono presenti equazioni differenziali o inclusioni differenziali, sia delle linee dimostrative classiche sulla teoria dei punti fissi. Il corso ha come obiettivo quello di sviluppare uno spirito critico utile sia per la preparazione all'insegnamento sia per sviluppare un interesse alla ricerca. Alla fine del corso inoltre gli studenti dovrebbero: - avere conoscenza di teoremi sull'esistenza di soluzioni locali o globali per problemi che coinvolgono equazioni differenziali o inclusioni differenziali e di teoremi classici sulla teoria dei punti fissi - avere capacità di organizzazione autonoma dell'esposizione sugli argomenti studiati; - saper esporre con un linguaggio appropriato le proprietà e le dimostrazioni sia verbalmente che per iscritto; - saper applicare le conoscenze acquisite in questo corso ad altre situazioni e discipline - elaborare in modo autonomo soluzioni a problemi inerenti al programma del corso; - saper riconoscere dimostrazioni corrette e di individuare ragionamenti non corretti; - comunicare le conoscenze matematiche acquisite nel corso; - leggere e comprendere testi di equazioni differenzial e di teoria sui punti fissi, - essere in grado di pervenire, aiutandosi con gli argomenti acquisiti nel corso, a una dimostrazione matematica di semplici affermazioni. - applicare le conoscenze e le abilità acquisite per analizzare e gestire nuove situazioni legate all'economia e alla teoria del controllo. Le competenze enunciate sono a mio avviso indispensabili per un matematico che si voglia dedicare all'insegnamento, come anche per un matematico che sia invece interessato alla ricerca.
Prerequisiti	Per poter comprendere i contenuti teorici dell'insegnamento è necessario aver acquisito le conoscenze dei corsi di Analisi Matematica della laurea triennale e in particolare quelle di Analisi Matematica III e di Analisi Matematica IV.
Metodi didattici	Il corso è organizzato nel seguente modo: - Lezioni e esercitazioni (42 ore frontali): lezioni in aula su tutti gli argomenti del corso. - ricevimento studenti (presso lo studio del docente o online su Teams): saranno dedicate due ore alla settimana per un ricevimento più personalizzato al quale gli studenti sono invitati a partecipare per poter continuare la discussione e la comprensione degli argomenti esposti durante le lezioni. Gli argomenti saranno presentati - con lo scopo di portare lo studente a sviluppare un spirito critico e un ragionamento analitico. Per realizzare ciò ci si soffermerà su come le ipotesi richieste intervengono nella dimostrazione e come una loro modifica comporta un diversificarsi della linea dimostrativa. - è intenzione del docente predisporre due prove di esonero che invitino gli studenti a studiare gli argomenti in modo calibrato e ad avere anche la possibilità con uno studio distribuito lungo tutto il corso di poter sostenere l'esame più facilmente e negli appelli d'esame fissati nell'anno accademico in corso. - Nelle lezioni il docente invita ad interagire poichè ritiene ciò molto utile sia per una preparazione alla ricerca, sia per affrontare nel futuro un'attività didattica. Per questo motivo il frequentare le lezioni è caldamente consigliato. - Nel caso ci siano studenti lavoratori, studenti non frequentanti o disabilie/o con DSA il docente ha prerarato slides e delle dispense in italiano , disponibili sulla piattaforma Unistudium. In ogni modo consiglio gli studenti non frequentanti di segnalarlo al docente all'inizio delle lezioni per decidere insieme la strategia più adatta per arrivare ad una buona preparazione dell'esame.
Altre informazioni	Il corso si svolge in 42 ore e il calendario delle attività didattiche è disponibile alla pagina web: http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-magistrale/orario-lezioni) Aula: (vedi:http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-magistrale/orario-lezioni) del Dipartimento di Matematica ed Informatica dell'Università degli Studi di Perugia, Via Vanvitelli. - Frequenza facoltativa, ma fortemente consigliata. - Il ricevimento studenti per il corso di Equazioni Differenziali avrà luogo nello studio del docente o su online su Teams e si articola secondo l'orario indicato sulla pagina web http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-magistrale/ricevimento-e-tutorato - Nell'orario di ricevimento gli studenti verranno seguiti in modo personalizzato. - Il docente distribuirà materiale didattico utile allo scopo di facilitare la preparazione degli studenti sugli argomenti del corso. Per ulteriori informazioni vedi: https://www.unistudium.unipg.it/unistudium/login/index.php - Si articola in 8 appelli di esame disponibili alla pagina web http://www.dmi.unipg.it/files/matematica/doc-magistrale/mate_calendarioesami_lm_iisem2019-2020 Commissione: T.Cardinali, I.Benedetti (A.Boccuto, R.Filippucci, P. Pucci, P.Rubbioni, A. Sambucini, E.Vitillaro). - Il corso ha come obiettivo quello di sviluppare uno spirito critico, utile sia per la preparazione all'insegnamento sia per sviluppare un interesse alla ricerca. - Saranno fornite dispense in italiano elaborate dal docente. - Esiste una pagina Web che contiene la descrizione del corso e altre informazioni relative a questo corso, vedere: https://www.unistudium.unipg.it/unistudium/login/index.php Consiglio: Non perdere la lezione. Fare domande. Vai in orario d'ufficio tutte le volte che è necessario. È necessario conoscere la terminologia utilizzata durante questo corso.
Modalità di verifica dell'apprendimento	L'esame prevede solo una prova orale con svolgimento congiunto di qualche esercizio critico. Se lo studente è interessato la prova orale si può suddividere in due prove parziali. La prova orale consiste in una discussione di circa 40/50 minuti su tre argomenti proposti allo studente dalla Commissione, finalizzata ad accertare il livello di conoscenza e la capacità di comprensione raggiunto dallo studente sui contenuti teorici indicati nel programma. La prova orale consentirà inoltre di verificare le capacità di comunicazione dello studente con proprietà di linguaggio e le capacità di organizzazione autonoma dell'esposizione sugli stessi argomenti a contenuto teorico. Prevede la richiesta da parte dei membri della Commissione di chiarimenti di dettaglio con lo scopo di accertare, oltre la capacità di conoscenza e comprensione e quella di esposizione, anche la capacità di applicare le competenze acquisite e quella di elaborare soluzioni in modo autonomo. E' necessario che lo studente conosca tutte le definizioni, teoremi, dimostrazioni, esempi e controesempi introdotti nel corso. Lo studente dovrà inoltre dimostrare di aver compreso i metodi presentati nelle dimostrazioni e, soprattutto, di saperli commentare e motivare. Gli esercizi critici richiesti durante la prova orale traggono spunto dai commenti, dalle riflessioni e confronti fra i teoremi e fra i metodi di dimostrazione presentati durante le lezioni frontali. E' possibile suddividere la prova orale in due parti da concordare con il docente anche in modo personalizzato (della durata ciascuna di 30/40 minuti). In tal caso il voto finale è dato da una media aritmetica dei due voti conseguiti sulle due prove parziali qualora lo studente preferisca dividere l'esame in due parti. Nell'eventualità fosse necessario in base alle normative di Ateneo gli esami e gli esami parziali potrebbero svolgersi su piattaforma online. Per la preparazione della prova di esame è importante frequentare attivamente, cioè ponendo domande al docente sul programma svolto e interagendo con il docente anche durante le ore di lezione. Il luogo giusto per chiarimenti sono le ore di lezione che sono organizzate in modo da favorire la partecipazione e ovviamente le ore dedicate dal docente a ricevere gli studenti. Gli studenti con certificazione DSA devono presentarmi la stessa almeno due settimane prima della prova. Per gli studenti Erasmus se lo desiderano è possibile svolgere l'esame orale anche in forma scritta in lingua inglese. Per le esigenze della programmazione didattica, essendo un insegnamento senza obbligo di frequenza, in base a quanto richiesto nelle indicazioni stabilite nel Syllabus (Rev. 3 dell'11 marzo 2022) si precisa quanto segue: “Nel caso in cui lo studente intenda anticipare l’esame in un anno precedente a quello programmato nel piano di studio, si raccomanda di frequentare il ciclo delle lezioni e di sostenere l’esame nel primo appello utile dopo che le lezioni medesime siano terminate, nel rispetto quindi del semestre di programmazione dell’insegnamento”. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa
Programma esteso	Teoremi di punto fisso (Teorema delle contrazioni, Teoremi di tipo Schauder, Teorema di Sadowski..). Esistenza di soluzioni in senso classico o assolutamente continue per problemi di Cauchy e per problemi periodici in cui figurano sistemi differenziali o inclusioni differenziali. Dipendenza continua dai dati iniziali. Teoremi di selezione per multimappe. Cenni sull'applicazione dei teoremi di punto fisso per multifunzioni nello studio di equilibri in economie astratte di tipo deterministico o random e cenni di problemi che si possono studiare con le inclusioni differenziali.