Insegnamento ALGEBRA I
| Nome del corso di laurea | Matematica |
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| Codice insegnamento | GP006034 |
| Curriculum | Comune a tutti i curricula |
| Docente responsabile | Massimo Giulietti |
| Docenti |
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| Ore |
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| CFU | 6 |
| Regolamento | Coorte 2022 |
| Erogato | Erogato nel 2022/23 |
| Erogato altro regolamento | |
| Attività | Caratterizzante |
| Ambito | Formazione teorica |
| Settore | MAT/02 |
| Anno | 1 |
| Periodo | Primo Semestre |
| Tipo insegnamento | Obbligatorio (Required) |
| Tipo attività | Attività formativa monodisciplinare |
| Lingua insegnamento | ITALIANO |
| Contenuti | Insiemi numerici classici: numeri naturali; interi relativi; numeri razionali; numeri reali; numeri complessi. Numeri primi. Dimostrazioni per induzione. Dimostrazioni per assurdo. Insiemi finiti e infiniti: proprietà e operazioni. Relazioni. Applicazioni. Permutazioni. Cardinalità di un insieme. Numerabilità. Calcolo combinatorio. L’anello delle classi resto modulo un intero n. Il teorema cinese dei resti. Gruppi. |
| Testi di riferimento | Dikran N. Dikranjan e Maria Silvia Lucido, Aritmetica e algebra. Liguori Editore. |
| Obiettivi formativi | L'obiettivo principale dell’insegnamento consiste nel fornire agli studenti le conoscenze di base nell’ambito della teoria degli insiemi e di alcune strutture algebriche, per poter poi affrontare studi successivi. Particolare cura è data alla comprensione delle argomentazioni e al rigore nella presentazione dei concetti e dei ragionamenti. Conoscenze e comprensione: Comprensione matematica degli argomenti proposti e conoscenze della teoria svolta su insiemi, funzioni, cardinalità, congruenze, monoidi e degli esempi fondamentali della teoria svolta. Modalità di verifica delle conoscenze: Esame scritto e orale Capacità: Essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Algebra. Collegare gli argomenti, trovare esempi e controesempi Essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati matematici e risoluzioni di problemi non conosciuti, ma chiaramente correlati a quanto svolto nella teoria e a lezione Modalità di verifica delle capacità: Esame scritto e orale Autonomia di giudizio: L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci. Abilità comunicative: La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Algebra, sia in forma scritta che orale. |
| Prerequisiti | L'algebra elementare che si studia al biennio delle scuole medie superiori. |
| Metodi didattici | Lezioni frontali. Il rigore metodologico (tutti i risultati teorici saranno dimostrati) sarà accompagnato da numerosi esercizi. |
| Altre informazioni | |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | L’esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta verifica l’abilità di produrre dimostrazioni rigorose di problemi e affermazioni correlati con gli argomenti del corso. La prova orale verifica l’abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso. Tutte le prove scritte hanno la durata di circa due ore e consistono nel risolvere problemi che possono anche essere piccole parti di teoria e servono a controllare il livello di comprensione degli argomenti trattati e la capacita' di collegarli. La prova scritta di ciascun appello contiene quattro esercizi, uno su relazioni di equivalenza, uno su relazioni d'ordine, uno su congruenze e uno su principio di induzione e/o numeri complessi. La prova orale, della durata di circa 30 minuti, tende a confermare il livello di comprensione degli argomenti trattati e di studio critico e rielaborazione personale. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa |
| Programma esteso | Insiemi numerici classici: N, Z, Q e R. Principali motivazioni che hanno portato, via via, all'ampliamento di N a Z fino ad arrivare ad R. Dimostrazioni per assurdo e dimostrazioni per induzione. La radice di un numero primo è un numero irrazionale. L'insieme C dei numeri complessi. Definizione di somma e prodotto. Numeri complessi coniugati. Reciproco di un numero complesso. Rappresentazione cartesiana e trigonometrica dei numeri complessi. Modulo e anomalia di un numero complesso. Formula di De Moivre. Calcolo delle radici n-me dell'unità nel campo dei numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Ogni equazione algebrica di grado dispari a coefficienti in R ammette almeno una soluzione reale (dimostrazione algebrica e analitica). Operazioni elementari tra insiemi. Prodotto cartesiano. L'insieme delle parti di un insieme. Un insieme X con n elementi ha 2n parti (dimostrazione per induzione e dimostrazione con l'uso della funzione caratteristica di X: vi è corrispondenza biunivoca tra P(X) e {0,1}n). Coefficienti binomiali e loro significato. Triangolo di Tartaglia. Applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biettive. Relazioni. Relazioni d'ordine. Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Relazione di equipotenza fra insiemi. Cardinalità di un insieme infinito. Insiemi numerabili. Numerabilità di Q con il metodo delle diagonali di Cantor. L'insieme delle parti di un insieme X ha cardinalità strettamente superiore a quella di X. L'insieme R non è numerabile. Cenni sull'ipotesi del continuo di Cantor e sul teorema di indecidibilità di Godel. Numeri primi. La divisione euclidea. Algoritmo di Euclide per determinare il massimo comun divisore tra due interi. L'identità di Bezout. Lemma di Euclide: se un primo p divide il prodotto di due interi, allora p divide almeno uno dei due interi. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Teorema di Euclide sull'infinità dell'insieme dei numeri primi. Congruenze in Z. Proprietà elementari. Equazioni congruenziali di primo grado. Cenni sulle equazioni diofantee. Sistemi di equazioni congruenziali. Il Teorema Cinese dei resti. La dimostrazione dei criteri di divisibilità per 3, 4, 9, 11. Il piccolo Teorema di Fermat. Funzione di Eulero phi. Calcolo di phi(n) per ogni intero positivo n. Il Teorema di Eulero. Il Teorema di Wilson. La congruenza x2=-1 (mod p) con p primo dispari ammette soluzione se e solo se p=1 (mod 4). Interi esprimibili come somma di due quadrati. Determinazione dell'insieme delle terne pitagoriche. Cenni su problemi classici di teoria dei numeri (risolti e non risolti): congettura di Goldbach; la congettura dei numeri primi gemelli; l'ultimo teorema di Fermat. Strutture algebriche con una o più operazioni. Semigruppi. Monoidi. Gruppi. Esempi di gruppi abeliani e non abeliani. Il gruppo delle matrici invertibili ad elementi in R. Il gruppo simmetrico Sn di grado n. il gruppo booleano dell'insieme delle parti di un insieme X rispetto all'operazione di differenza simmetrica. Sottogruppi di un gruppo. Criterio per stabilire se un sottoinsieme S di un gruppo G è un sottogruppo di G. Ordine (o periodo) o(x) di un elemento x di un gruppo G. Il sottogruppo generato da x. Se o(x)=n, allora xh ha ordine n/MCD(n,h). Per qualunque elemento x di un gruppo moltiplicativo G di ordine n, si ha xn=1. Laterali destri e laterali sinistri. Teorema di Lagrange: se H è un sottogruppo di un gruppo finito G, allora l'ordine di H è un divisore dell'ordine di G. Definizione di anello e di campo. Esempi di anelli con particolare attenzione all'anello delle classi resto modulo n. |