Insegnamento ANALISI FUNZIONALE
| Nome del corso di laurea | Matematica |
|---|---|
| Codice insegnamento | 55A00085 |
| Curriculum | Comune a tutti i curricula |
| Docente responsabile | Enzo Vitillaro |
| Docenti |
|
| Ore |
|
| CFU | 9 |
| Regolamento | Coorte 2023 |
| Erogato | Erogato nel 2023/24 |
| Erogato altro regolamento | |
| Attività | Caratterizzante |
| Ambito | Formazione teorica avanzata |
| Settore | MAT/05 |
| Anno | 1 |
| Periodo | Secondo Semestre |
| Tipo insegnamento | Obbligatorio (Required) |
| Tipo attività | Attività formativa monodisciplinare |
| Lingua insegnamento | Italiano |
| Contenuti | Il corso intende introdurre alcuni aspetti fondanti dell'analisi funzionale lineare, presentando problemi e applicazioni che derivano da mondo fisico, biologico, chimico ed economico. |
| Testi di riferimento | 1. H. Brezis Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Universitext, Springer 2012. 2. J. Van Neerven, Functional Analysis, Cambridge Studies in Mathematics. Cambridge University Press, 2022. 3. C. Clason. Introduction to Functional Analysis, Compact Textbooks in Mathematics, Birkhauser, 2020. Per i richiami di Topologia gli studenti possono avvalersi dei testi a loro disposizione, il materiale trattato è disponibile in: 4. J. R. Munkres, Topology A first Course. Prentice Hall, 1975. 5. T. Richmond, General Topology, an Introduction, De Gruyter, 2020. 6. Dispense a cura del docente reperibili sul sito del Corso su Unistudium. |
| Obiettivi formativi | Acquisizione e familiarità delle proprietà basilari dell'analisi funzionale e degli spazi di Banach. La materia costituisce parte del contenuto di un corso riformato di secondo livello per le lauree magistrali in Matematica italiane. Anche l'impostazione è riformata, e i libri di testo adottati sono ricchi di esempi e controesempi, e dunque ottimali per raggiungere una buona comprensione delle definizioni e degli enunciati dei teoremi. Il corso ha l’obiettivo di analizzare gli argomenti base di analsi funzionale in spazi di Banach, trattando in modo diffuso la disciplina come si insegna da anni in ambito nazionale e internazionale. In tal senso, al termine del corso gli studenti dovrebbero essere in grado di: - conoscere gli elementi base di analisi funzionale e come essi si applichino alle scienze della natura, - possedere competenze computazionali per la risoluzione di esercizi vari, - leggere e comprendere testi di Analisi Funzionale, - fornire autonomamente una dimostrazione di enunciati semplici, con spiccata capacità di ragionamento, - comunicare in lingua italiana le conoscenze matematiche acquisite nel corso e le problematiche connesse, - lavorare in gruppo, ma anche in autonomia. Le competenze enunciate sono indispensabili sia in ambito delle professioni tradizionali del matematico, sia per le attività del matematico in ambito lavorativo di tipo tecnico e/o industriale. |
| Prerequisiti | Per comprendere al meglio gli argomenti trattati nell'insegnamento è opportuno conoscere i concetti base di Analisi Matematica acquisiti in una qualunque Laurea Triennale in Matematica, Fisica e/o Ingegneria. In particolare, l'insegnamento si propone di avvicinare lo studente a teorie che svolgono un ruolo centrale nella matematica moderna, come l'analisi funzionale in spazi di Banach e le topologie deboli con il loro uso nelle applicazioni. |
| Metodi didattici | Il corso si articola in lezioni frontali, nelle quali vengono svolti numerosi esercizi esemplificativi per agevolare la comprensione del corso. Gli argomenti essenziali vengono riassunti in dispense fornite dal docente. Il corso è di 63 ore di teoria ed è ricco di diversi esempi e controesempi. Nell'orario di ricevimento gli studenti potranno essere seguiti in modo personalizzato, anche per appuntamento su loro richiesta. Per comprendere al meglio gli argomenti trattati nell'insegnamento è opportuno conoscere i concetti base di Analisi Matematica acquisiti in una qualunque Laurea Triennale in Matematica, Fisica e/o Ingegneria. In particolare, l'insegnamento si propone di avvicinate lo studente a teorie che svolgono un ruolo centrale nella matematica moderna, come l'analisi funzionale in spazi di Banach e le topologie deboli con il loro uso nelle applicazioni. La frequenza alle lezioni, anche se non obbligatoria, è vivamente raccomandata per una buona comprensione della materia. |
| Altre informazioni | Il docente distribuirà materiale didattico utile per una migliore comprensione del corso, allo scopo di facilitare la preparazione dell'esame. In via sperimentale, con l'accordo degli studenti frequentanti, il corso potrebbe essere svolto, interamente o in parte, in lingua Inglese. Anche l'esame può svolgersi in lingua Inglese a richiesta dello studente. Il corso si articola in 6 ore alla settimana e l'orario è disponibile alla pagina web http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-magistrale/orario-lezioni Consultazione degli studenti in orario di ricevimento di tipo personalizzato, anche per appuntamento su richiesta degli studenti. |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | L'esame prevede una sola prova orale con lo svolgimento di alcuni esercizi. La prova orale consiste in una discussione su tre argomenti, ognuno articolato in più domande, ed è della durata di circa 30 minuti. La prova orale è finalizzata ad accertare il livello di conoscenza raggiunto dallo studente sui contenuti teorici e sulle metodologie trattate nel corso (teoremi fondamentali del corso, definizioni, esempi e controesempi). La prova orale consente infine di verificare la capacità di comunicazione dello studente con proprietà di linguaggio e la sua abilità di organizzare l'esposizione in modo autonomo. Le prove orali di esame si articolano in almeno 8 appelli e il calendario è disponibile alla pagina web http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-magistrale/calendario-esami Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa |
| Programma esteso | 1. Richiami e complementi di Topologia Generale. Richiami sugli spazi topologici, topologia prodotto infinito. Spazi metrici e metrizzabili: rilettura dei concetti topologici in questo ambiente. Compattezza: generalità in spazi topologici e caratterizzazioni della compattezza in spazi metrici. Teorema di Tychonoff. Spazi separabili. Spazi metrici completi, completamento. Teorema di Baire. 2. Spazi di Banach. Richiami sugli spazi Euclidei e definizione di norma nel caso reale e complesso. Successioni e funzioni a valori complessi. Generalità sugli spazi normati e di Banach. Spazi di dimensione finita. Esempi di spazi in dimensione infinita: spazi di successioni e spazi di Lebesgue. Spazi di prodotto interno: estensione al caso complesso. Generalità su operatori e funzionali lineari. 3. Funzionali limitati e duali. Duali di alcuni spazi normati e di spazi di prodotto interno. Il Teorema di Hahn-Banach nelle sue varianti conseguenze. Mappa di James . 4. Operatori limitati. I tre teoremi fondamentali per gli operatori lineari :Teorema di Uniforme Limitatezza, Teorema dell’ Applicazione Aperta e del Grafico Chiuso. 5. Topologie deboli e spazi riflessivi. Topologia debole e debole*, Teorema di Banach-Alaoglu, di Kakutani, di Eberlein-Smulian. Spazi Uniformemente convessi e Teorema di Milman-Pettis. 6. Approfondimenti sugli spazi di Lebesgue: riflessività, duali, convoluzione e regolarizzazione, criteri di compattezza. |