| Nome del corso di laurea |
Matematica |
| Codice insegnamento |
A005436 |
| Curriculum |
Generale |
| Docente responsabile |
Marco Timpanella |
| Docenti |
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| Ore |
- 42 Ore - Marco Timpanella
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| CFU |
6 |
| Regolamento |
Coorte 2025 |
| Erogato |
Erogato nel 2025/26 |
| Erogato altro regolamento |
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| Attività |
Affine/integrativa |
| Ambito |
Attività formative affini o integrative |
| Settore |
MAT/03 |
| Anno |
1 |
| Periodo |
Secondo Semestre |
| Tipo insegnamento |
Opzionale (Optional) |
| Tipo attività |
Attività formativa monodisciplinare |
| Lingua insegnamento |
INGLESE |
| Contenuti |
Esplorare la profonda connessione tra la teoria dei gruppi e la teoria dei campi attraverso l'introduzione della teoria di Galois, fino a raggiungere una comprensione chiara della corrispondenza di Galois. Illustrare la potenza e l’eleganza di questa teoria applicandola a problemi storicamente significativi — come la determinazione di quali equazioni siano risolubili tramite radicali — così come ad ambiti più applicati della matematica, come la teoria dei codici e la crittografia. |
| Testi di riferimento |
- D. Cox, Galois Theory, Wiley. - I. Stewart, Galois Theory, CRC Press. - Eventuale materiale integrativo reperibile in Unistudium. |
| Obiettivi formativi |
Il corso si propone di: - spiegare le proprietà fondamentali delle estensioni di campi; definire la nozione di gruppo di Galois; - mostrare la corrispondenza tra le proprietà delle estensioni di campi e quelle dei gruppi di Galois ad esse associati; - applicare questa corrispondenza per risolvere alcuni problemi classici dell'algebra e della geometria euclidea, così come alcune questioni più recenti emerse nel contesto della teoria dei codici e della crittografia. Al termine di questo corso, lo studente sarà in grado di: - Padroneggiare i campi e le loro estensioni, inclusa la capacità di svolgere calcoli espliciti e costruire esempi rilevanti. - Gestire i gruppi di Galois, sia in modo astratto che tramite esempi espliciti, utilizzando una varietà di tecniche, tra cui il Teorema Fondamentale della Teoria di Galois. - Spiegare e lavorare con le conseguenze della Teoria di Galois in questioni generali di matematica trattate nel corso, come l'insolubilità di certe classi di equazioni o l'impossibilità di alcune costruzioni geometriche. - Produrre esempi e controesempi che illustrano i concetti matematici presentati nel corso. - Comprendere gli enunciati e le dimostrazioni di teoremi importanti ed essere in grado di spiegare i passaggi chiave delle dimostrazioni. Il corso si prefigge anche lo scopo affinare la capacità di astrazione e, d’altra parte, mostrare come una buona conoscenza teorica permetta di sviluppare significativi strumenti applicativi. Ulteriori obiettivi formativi sono i seguenti: Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci; essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito della teoria di Galois e delle sue applicazioni. Abilità comunicative (communication skills): capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti. Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento nell'ambito della teoria di Galois. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico di argomenti di Algebra non precedentemente approfonditi. Fornire agli studenti uno strumento fondamentale per studi futuri in algebra e teoria dei numeri. |
| Prerequisiti |
Al fine di comprendere e saper applicare la maggior parte delle tecniche descritte nell'insegnamento è necessario padroneggiare concetti sulle strutture algebriche di base (gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali) ed aver sostenuto con successo gli esami di Algebra I, Algebra II, Geometria I della laurea triennale in Matematica. |
| Metodi didattici |
Il corso è organizzato in lezioni frontali in aula su tutti gli argomenti del corso. Le lezioni sono accompagnate da appunti, esercizi, esempi e problemi aperti nella ricerca. Della maggior parte dei risultati verranno date dimostrazioni rigorose, mentre di alcuni solamente gli enunciati e le relative applicazioni. |
| Altre informazioni |
Contattare il docente per altre informazioni. |
| Modalità di verifica dell'apprendimento |
L'esame consiste di una prova orale, nella quale verranno sottoposti allo studente tre quesiti relativi a tre distinte parti del programma. La prova ha una durata di circa 30/40 minuti ed è finalizzata ad accertare il livello di conoscenza e capacità di comprensione raggiunto dallo studente sui contenuti teorici e metodologici indicati nel programma. La prova orale consentirà inoltre di verificare la capacità di comunicazione dell'allievo con proprietà di linguaggio ed organizzazione autonoma dell'esposizione sugli stessi argomenti a contenuto teorico. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa |
| Programma esteso |
Estensioni di campi e loro proprietà di base. Struttura e costruzione dei campi finiti. Chiusura algebrica di un campo: esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker. Campi di spezzamento ed estensioni normali. Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo. Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite. Gruppo di Galois di un polinomio. Estensioni cicliche e teoria di Kummer. Gruppi risolubili. Risolubilità per radicali, non risolubilità delle equazioni di quinto grado. Ulteriori esempi e applicazioni. Altri argomenti selezionati potranno essere trattati, ad esempio le costruzioni con riga e compasso, la separabilità, i campi finiti. |
