Insegnamento FISICA MATEMATICA I
| Nome del corso di laurea | Matematica |
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| Codice insegnamento | 55109909 |
| Curriculum | Comune a tutti i curricula |
| Docente responsabile | Francesca Di Patti |
| Docenti |
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| Ore |
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| CFU | 6 |
| Regolamento | Coorte 2021 |
| Erogato | Erogato nel 2023/24 |
| Erogato altro regolamento | |
| Attività | Caratterizzante |
| Ambito | Formazione modellistico-applicativa |
| Settore | MAT/07 |
| Anno | 3 |
| Periodo | Secondo Semestre |
| Tipo insegnamento | Obbligatorio (Required) |
| Tipo attività | Attività formativa monodisciplinare |
| Lingua insegnamento | Italiano |
| Contenuti | Equazioni alle derivate parziali. Modelli matematici. Equazioni lineari del primo e del secondo ordine e relativi problemi ai valori iniziali e/o al contorno. Equazioni del secondo ordine di tipo iperbolico, parabolico ed ellittico. Metodi risolutivi. |
| Testi di riferimento | S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: Metodi, modelli e applicazioni. Unitext, Springer. A. Tichonov and A. Samarsky, Equazioni della fisica matematica, Editori riuniti, 2020. Tyn-Mynt,U. and L. Debnath, Partial Differential Equations for Scientist and Engineer, North Holland. |
| Obiettivi formativi | Gli obiettivo di questo corso: - fornire agli studenti gli strumenti matematici essenziali che devono far parte della formazione di uno studente della laurea triennale per affrontare problemi legati ai modelli matematici implementati da problemi alle equazioni differenziali alle derivate parziali. - motivare lo studio di questi strumenti indicando le questioni che hanno portato al loro sviluppo anche mostrando le applicazioni. - essere in grado di affrontare lo studio e l`analisi di semplici modelli matematici che coinvolgono equazioni differenziali alle derivate parziali. Questi obiettivi comportano la trattazione degli argomenti classici della fisica matematica. Equazioni lineari del primo ordine e loro applicazioni, equazioni lineari del secondo ordine: ellittiche, paraboliche e iperboliche e relativa descrizione dei principali modelli matematici riguardanti dinamica di popolazione, potenziale, diffusione del calore, diffusione e reazione di sostanze interagenti, corda vibrante. |
| Prerequisiti | I prerequisiti di conoscenze e competenze indispensabili per lo studente che voglia seguire con profitto il corso sono: matrici, autovalori e autovettori; integrali multipli, integrali di superficie; teorema della divergenza e del trasporto; equazioni differenziali ordinarie, problemi di Cauchy; sviluppi in serie di Fourier e relativi teoremi di convergenza; leggi fondamentali della dinamica, energia di un sistema materiale. |
| Metodi didattici | Lezioni in aula su tutti gli argomenti del corso e relativi esercizi. Gli studenti troveranno su unistudium il programma dettagliato delle lezioni svolte e il materiale aggiuntivo. |
| Altre informazioni | Frequenza delle lezioni: facoltativa ma raccomandata. |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | Unico colloquio finale della durata di 30/45 minuti. La prova orale consiste in una discussione di 2/3 argomenti finalizzata ad accertare il livello di conoscenza e capacità di comprensione raggiunto dallo studente sui contenuti teorici e metodologici indicati nel programma. Tale prova orale sarà inoltre l'occasione per verificare il grado di comunicazione raggiunto dallo studente con proprietà di linguaggio ed organizzazione autonoma dell' esposizione. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa |
| Programma esteso | Concetti di base e definizioni sulle PDE, problemi ai valori iniziali e al contorno, operatori lineari, classificazioni delle PDE del primo ordine, interpretazione geometrica di una PDE del primo ordine. Risoluzione di una PDE quasi lineare con il metodo delle caratteristiche, teorema di Cauchy per una PDE del primo ordine, teorema di Cauchy per una PDE del primo ordine quasi lineare, esercizi sulla risoluzione di PDE del primo ordine con il metodo delle caratteristiche. Metodo della separazione delle variabili per una PDE del primo ordine e relativi esercizi, classificazione delle PDE del secondo ordine, riduzione alla prima forma canonica per una equazione iperbolica. Seconda forma canonica delle equazioni iperboliche, forma canonica delle equazioni paraboliche e ellittiche, caso particolare delle equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti, soluzioni generali. Equazione del calore, la conduzione del calore, problemi ben posti (caso n=1), il metodo della separazione delle variabili. Questioni legate alla soluzione trovata con il metodo della separazione delle variabili (convergenza della serie, unicità, condizioni iniziali), principio di massimo in forma debole. Enunciato del principio di massimo forte, la soluzione fondamentale per n=1, la distribuzione di Dirac, introduzione alla passeggiata aleatoria simmetrica. Calcolo del primo e secondo momento nella passeggiata aleatoria simmetrica, funzioni generatrici, la probabilità di transizione limite, cenni alla connessione con il moto browniano, cenni al problema di Cauchy globale omogeneo per n=1, equazione di Poisson, problemi ben posti e unicità. Funzioni armoniche nel discreto, problema di Dirichlet discreto, proprietà di media, principi di massimo. Il problema di Dirichlet in un cerchio, la formula di Poisson. Disuguaglianza di Harnack, teorema di Liouville, la soluzione fondamentale, potenziali in domini limitati. La funzione di Green per il problema di Dirichlet, metodo delle immagini nel semispazio superiore e nella sfera, formula di rappresentazione di Green, leggi di conservazione, inquinante in un fiume. Inquinante in un fiume con sorgente distribuita, estinzione e sorgente localizzata, caratteristiche inflow e outflow, traffico su strada, risoluzione tramite il metodo delle caratteristiche, cosa al semaforo. Onde di rarefazione, traffico crescente con x, condizione di Rankine-Hugoniot, onda d'urto, breaking time. Soluzione integrale, condizione di Rankine-Hugoniot e soluzioni integrali, equazione di Burgers, condizione di entropia, disuguaglianza dell'entropia. Teoremi sulla condizione di entropia, problema di Riemann, tipi di onde. Modello per le vibrazioni trasversali di una corda, equazione delle onde, energia, condizioni iniziali e a al bordo, metodo della separazione delle variabili. Unicità e dipendenza dai dati iniziali della soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet, soluzione del problema di Cauchy globale, formula di d'Alembert, introduzione alla propagazione delle singolarità. Condizione tipo Rankine-Hugoniot per l'equazione delle onde in cui si propaga una singolarità, la soluzione fondamentale, equazione non omogenea risolta con il metodo di Duhamel, soluzioni particolari per n>1 (onde progressive piane, onde cilindriche e onde sferiche. Onde sferiche, piccole vibrazioni in una membrana elastica, soluzione per una membrana quadrata, onde sonore nei gas. Soluzione fondamentale in n=3, principio di Huygens, formula di Kirchhoff. |