Insegnamento ANALISI MODERNA
| Nome del corso di laurea | Matematica |
|---|---|
| Codice insegnamento | 55A00086 |
| Curriculum | Didattico-generale |
| Docente responsabile | Roberta Filippucci |
| Docenti |
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| Ore |
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| CFU | 6 |
| Regolamento | Coorte 2021 |
| Erogato | Erogato nel 2021/22 |
| Erogato altro regolamento | Informazioni sull'attività didattica |
| Attività | Affine/integrativa |
| Ambito | Attività formative affini o integrative |
| Settore | MAT/05 |
| Anno | 1 |
| Periodo | Primo Semestre |
| Tipo insegnamento | Opzionale (Optional) |
| Tipo attività | Attività formativa monodisciplinare |
| Lingua insegnamento | ITALIANO |
| Contenuti | Elementi di Calcolo delle Variazioni. Tecniche di minimizzazione: problemi compatti. Introduzione ai metodi minimax. Lemma di deformazione. Teorema del Passo di Montagna. Applicazioni ad equazioni differenziali alle derivate parziali. Tecniche di minimizzazione: problemi con perdita di compattezza. Applicazioni ad alcuni problemi critici. |
| Testi di riferimento | M. Badiale & E. Serra, Semilinear Elliptic Equations for beginners, Springer (2011) A. Ambrosetti & A. Malchiodi, Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 104 (2007). M. Ghergu & V. Radulescu, Nonlinear PDEs. Mathematical models in biology, chemistry and population genetics. With a foreword by Viorel Barbu. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidelberg, 2012. xviii+391 pp. M. Struwe, Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems, Springer-Verlag, Berlin (2008). |
| Obiettivi formativi | L'insegnamento rappresenta il naturale completamento degli insegnamenti di Analisi Matematica dei Corsi di Studio in Matematica, in quanto vi trovano applicazione tutti gli argomenti trattati nei corsi precedenti. In particolare, l'obiettivo principale consiste nel fornire allo studente le basi per comprendere la natura di un problema variazionale nelle scienze applicate e risolverne i più facili. Le principali conoscenze acquisite saranno: - gli aspetti fondamentali della teoria delle distribuzioni; - le proprietà dell'operatore di Nemitzskii negli spazi L^p; - teoremi di minimo e applicazioni; - teoremi di minimax fondamentali e applicazioni: teoremi del passo montano. Le principali abilità saranno: - identificare la natura variazionale di un problema; - determinare le proprietà geometriche del funzionale associato e individuare il teorema di minmax da applicare; - dimostrare l'esistenza di soluzioni di problemi differenziali tramite un teorema di punto critico. |
| Prerequisiti | Al fine di comprendere e saper applicare la maggior parte delle tecniche descritte nell'insegnamento è necessario aver sostenuto con successo l'esame di Analisi Matematica V. Gli argomenti e le tecniche lì trattati sono infatti un prerequisito indispensabile per lo studente che voglia seguire il corso con profitto. |
| Metodi didattici | Lezioni frontali con applicazioni |
| Altre informazioni | La frequenza è vivamente consigliata. Si consiglia di seguire parallelamente il corso di Analisi Matematica VI. |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | L'esame prevede una prova orale della durata di circa 30 minuti ora, finalizzata ad accertare il livello di conoscenza e capacità di comprensione raggiunto dallo studente sui contenuti teorici e metodologici indicati nel programma. La prova orale, inoltre, permetterà di verificare se lo studente abbia acquisito capacità di comunicazione, proprietà di linguaggio e abilità nella riorganizzazione autonoma dell'esposizione sui temi trattati. Su richiesta dello studente l'esame può essere sostenuto anche in lingua inglese. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa |
| Programma esteso | Richiami di alcuni teoremi fondamentali di Analisi Funzionale (spazi di Sobolev, spazi di Hilbert, teoremi di immersione, disuguaglianze di Poincarè e Sobolev, Teorema di Riesz, Teorema di Banach-Alaoglu). Differenziazione alla Gateaux e alla Frechet, esempi in spazi astratti e successivamente negli spazi L2, H10, H1. Funzionale di Eulero Lagrange, punti critici e soluzioni deboli. Funzionali convessi. Proprietà spettrali di operatori ellittici. Problemi coercivi. Un teorema min-max. Problemi superlineari sottocritici e minimizzazione vincolata (sfera unitaria e varietà di Nehari). Nonlinearità nonomogenee. Il p-Laplaciano e sue applicazioni. Introduzione ai metodi minimax. Successioni di Palais Smale. Lemma di deformazione. Teorema del passo di montagna e teorema del punto sella: applicazioni a problemi superlineari e a problemi asintoticamente lineari. Tecniche di minimizzazione in assenza di compattezza. Un problema radiale e un problemi con potenziali illimitato. Problemi con esponenti critici. Identità integrale di Pohozaev e un risultato di nonesistenza. |