Insegnamento TOPOLOGIA I
| Nome del corso di laurea | Matematica |
|---|---|
| Codice insegnamento | 55A00101 |
| Curriculum | Didattico-generale |
| Docente responsabile | Nicola Ciccoli |
| Docenti |
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| Ore |
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| CFU | 6 |
| Regolamento | Coorte 2022 |
| Erogato | Erogato nel 2022/23 |
| Erogato altro regolamento | Informazioni sull'attività didattica |
| Attività | Affine/integrativa |
| Ambito | Attività formative affini o integrative |
| Settore | MAT/03 |
| Anno | 1 |
| Periodo | Secondo Semestre |
| Tipo insegnamento | Opzionale (Optional) |
| Tipo attività | Attività formativa monodisciplinare |
| Lingua insegnamento | ITALIANO |
| Contenuti | Teoria dell'omotopia e dell'omologia |
| Testi di riferimento | 1. Singer-Thorpe Lezioni di Topologia elementare e di Geometria Differenziale 2. Hatcher, Algebraic Topology 3. Dubrovin-Novikov-Fomenko, Geometria Contemporanea I-II-III (in particolare vol. 3) Essendo il primo anno che questo corso viene tenuto dall'attuale docente i dettagli sulle parti di questi testi che verranno coperti nel corso verranno chiariti nel corso delle lezioni. |
| Obiettivi formativi | Acquisire il linguaggio unificante della Teoria delle Categorie. Conoscenza dei concetti fondamentali della Topologia Generale, con particolare riguardo alla teoria della omotopia e a vari tipi di teorie omologiche. Il corso rappresenta la principale occasione per approfondire le tecniche topologiche più usate sia nel campo della ricerca che nelle applicazioni (data science, image processing, riconoscimento di forme). |
| Prerequisiti | Corsi di Algebra e Geometria, in particolare si daranno per noti i risultati di Topologia contenuti nei corsi obbligatori della Laurea Triennale. |
| Metodi didattici | Lezione frontale in aula su tutto il programma del corso. La frequenza non è obbligatoria ma caldamente consigliata. Agli studenti verrà richiesto di partecipare attivamente al corso. In qualche caso potranno essere usate forme di didattica "flipped" facendo precedere la proposizione di casi di studio agli studenti alla loro analisi in aula. |
| Altre informazioni | L'orario di ricevimento verrà fissato all'inizio delle lezioni. Studenti lavoratori, non frequentanti, disabili e/o con DSA sono invitati a contattare il docente per fissare eventuali personalizzazioni. Si veda anche: http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | Esame orale su tutto il programma del corso di durata inferiore ai 90 minuti. Ci si aspetta che lo studente sia in grado di dimostrare i teoremi visti nel corso, anche con riferimento a quelle dimostrazioni di cui, a lezione, sono stati elencati solo i passaggi principali. Nella valutazione dell'orale verranno prese in considerazione anche la chiarezza espositiva e la precisione nell'uso del linguaggio matematico, la capacità di fare connessioni con il materiale studiato in precedenza e di rivedere criticamente, alla luce delle nuove tecniche acquisite, il contenuto dei corsi precedenti. Per gli studenti frequentanti è possibile ottenere un esonero parziale esponendo una tesina su di un argomento concordato con il docente. |
| Programma esteso | Categorie, Funtori e trasformazioni naturali. Funtori rappresentabili e Lemma di Yoneda. L’immersione di Yoneda. Equivalenze di Categorie. Funtori Aggiunti. La categoria degli spazi topologici (puntati). Convergenza in uno spazio topologico. Spazi Compatti. La compattificazione di Stone-¿Cech. Spazi Localmente Compatti. Richiami sulla connessione. Omotopia. Il gruppoide fondamentale ed il gruppo fondamentale. Tecniche di calcolo. Teoria dei rivestimenti. Omologia simpliciale e omologia singolare. Tecniche di calcolo. Dimostrazione di teoremi topologici facendo uso di calcoli di omologia. |