Insegnamento MATEMATICA I
- Corso
- Ingegneria meccanica
- Codice insegnamento
- GP004936
- Curriculum
- Comune a tutti i curricula
- Docente
- Anna Salvadori
- Docenti
-
- Anna Salvadori
- Anna Salvadori
- Ore
- 54 ore - Anna Salvadori
- 54 ore - Anna Salvadori
- CFU
- 12
- Regolamento
- Coorte 2022
- Erogato
- 2022/23
- Attività
- Base
- Ambito
- Matematica, informatica e statistica
- Settore
- MAT/05
- Tipo insegnamento
- Obbligatorio (Required)
- Tipo attività
- Attività formativa monodisciplinare
- Lingua insegnamento
- Italiano
- Contenuti
- Corso base di calcolo (una variabile) con elementi di analisi numerica
- Testi di riferimento
- P.Brandi - A.Salvadori, Prima di iniziare, Aguaplano Officina del Libro (2015) - [testo di riferimento per i prerequisiti]
P.Brandi - A. Salvadori, Percorsi di Matematica, 2 volumi, Aguaplano-Officina del libro, Passignano s.T. (PG), (2015) (testo base) - Obiettivi formativi
- Matematica 1 è un corso base di Analisi Matematica, con alcuni elementi di Calcolo Numerico, che unitamente a Matematica 2 ha il compito di fornire le conoscenze matematiche indispensabili ad affrontare gli studi di Ingegneria Meccanica.
L'obiettivo principale del corso è quello di fornire le conoscenze fondamentali nei seguenti ambiti:
- calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile
- approssimazione polinomiale
- soluzione approssimata di equazioni (sia numeriche che differenziali)
- trattamento ed elaborazione di dati
- integrazione numerica
- modellizzazione matematica con strumenti elementari (modelli sia discreti che continui).
La principale abilità acquisita è comprendere il ruolo fondamentale del calcolo infinitesimale e di quello numerico nella modellizzazione di fenomeni e/o situazioni reali. Precisamente lo studente acquisirà una competenza di base nei seguenti ambiti:
- comprensione ed utilizzo consapevole di modelli matematici noti per la descrizione di fenomeni o la risoluzione di problemi in situazioni reali
- costruzione di semplici modelli matematici per la descrizione di fenomeni o la risoluzione di problemi in situazioni reali
- conoscenza delle strutture portanti dei procedimenti argomentativi e dimostrativi della analisi matematica, anche attraverso la padronanza del linguaggio logico-formale e loro uso nell’individuare e risolvere problemi di varia natura.
In particolare lo studente acquisirà familiarità con i due concetti chiave di ottimizzazione e di equilibrio e con le loro applicazioni in vari ambiti, principalmente di tipo industriale. - Prerequisiti
- Matematica 1 è un corso base di Analisi Matematica, con alcuni elementi di Calcolo Numerico, che unitamente a Matematica 2 ha il compito di fornire le conoscenze matematiche indispensabili ad affrontare gli studi di Ingegneria Meccanica.
L'obiettivo principale del corso è quello di fornire le conoscenze fondamentali nei seguenti ambiti:
- calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile
- approssimazione polinomiale
- soluzione approssimata di equazioni (sia numeriche che differenziali)
- trattamento ed elaborazione di dati
- integrazione numerica
- modellizzazione matematica con strumenti elementari (modelli sia discreti che continui).
La principale abilità acquisita è comprendere il ruolo fondamentale del calcolo infinitesimale e di quello numerico nella modellizzazione di fenomeni e/o situazioni reali. Precisamente lo studente acquisirà una competenza di base nei seguenti ambiti:
- comprensione ed utilizzo consapevole di modelli matematici noti per la descrizione di fenomeni o la risoluzione di problemi in situazioni reali
- costruzione di semplici modelli matematici per la descrizione di fenomeni o la risoluzione di problemi in situazioni reali
- conoscenza delle strutture portanti dei procedimenti argomentativi e dimostrativi della analisi matematica, anche attraverso la padronanza del linguaggio logico-formale e loro uso nell’individuare e risolvere problemi di varia natura.
In particolare lo studente acquisirà familiarità con i due concetti chiave di ottimizzazione e di equilibrio e con le loro applicazioni in vari ambiti, principalmente di tipo industriale.
Matematica 1 è un corso impegnativo ed intensivo (12 CFU - tredici settimane). Per poter seguire le lezioni in modo proficuo, oltre ad una buona preparazione sulle conoscenze base (vedi elenco), è indispensabile aver acquisito in modo solido almeno le due competenze fondamentali (cfr. competenze chiave di cittadinanza):
• Imparare ad imparare: organizzare il proprio apprendimento utilizzando varie fonti e varie modalità di informazione.
• Comunicare: comprendere e utilizzare messaggi di diverso tipo (di carattere principalmente tecnico, scientifico) e di complessità diversa, trasmessi utilizzando linguaggi diversi (naturale, matematico, simbolico, ecc.) mediante diversi supporti (cartacei, informatici e multimediali)
Conoscenze base. Relazione d'ordine ed algebra dei numeri reali. Algebra dei polinomi. Elementi di geometria analitica. Elementi di goniometria e trigonometria (risoluzione di un triangolo rettangolo, teorema di Carnot e teorema dei seni). Funzioni elementari e loro inverse o inverse parziali (dominio, codominio, grafico; invertibilità e monotonia). Trasformazioni di una funzione (traslazioni e riscalamenti) ed effetto sul grafico.Equazioni e disequazioni elementari, sistemi di disequazioni. Elementi di logica delle proposizioni (le congiunzioni end, or, not. Leggi di De Morgan). - Metodi didattici
- Matematica 1 è un corso impegnativo ed intensivo (12 CFU - tredici settimane). Per poter seguire le lezioni in modo proficuo, oltre ad una buona preparazione sulle conoscenze base (vedi elenco), è indispensabile aver acquisito in modo solido almeno le due competenze fondamentali (cfr. competenze chiave di cittadinanza):
• Imparare ad imparare: organizzare il proprio apprendimento utilizzando varie fonti e varie modalità di informazione.
• Comunicare: comprendere e utilizzare messaggi di diverso tipo (di carattere principalmente tecnico, scientifico) e di complessità diversa, trasmessi utilizzando linguaggi diversi (naturale, matematico, simbolico, ecc.) mediante diversi supporti (cartacei, informatici e multimediali)
Conoscenze base. Relazione d'ordine ed algebra dei numeri reali. Algebra dei polinomi. Elementi di geometria analitica. Elementi di goniometria e trigonometria (risoluzione di un triangolo rettangolo, teorema di Carnot e teorema dei seni). Funzioni elementari e loro inverse o inverse parziali (dominio, codominio, grafico; invertibilità e monotonia). Trasformazioni di una funzione (traslazioni e riscalamenti) ed effetto sul grafico.Equazioni e disequazioni elementari, sistemi di disequazioni. Elementi di logica delle proposizioni (le congiunzioni end, or, not. Leggi di De Morgan). - Altre informazioni
- Il corso è organizzato nel modo seguente:
- lezioni frontali in aula su tutti gli argomenti del corso
- esercitazioni in aula con il coinvolgimento degli studenti
- due esercitazioni scritte in aula a simulazione della prova scritta d'esame. - Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame prevede una prova scritta ed un colloquio orale.
La prova scritta è articolata in due fasi consecutive A e B.
Fase A - durata: 2 ore
tipologia: risoluzione di alcuni problemi a risposta aperta (tre o quattro), è concesso l'uso di dispense, manuali, strumenti di calcolo grafico-simbolico rigorosamente off-line;
obiettivo: verifica delle conoscenze e delle competenze di tipo applicativo.
Sarà particolarmente apprezzata non solo la correttezza delle procedure calcoli, ma anche la qualità delle argomentazioni portate a supporto dello svolgimento.
Fase B - durata 1 ora
tipologia: alcuni quesiti a risposta aperta (due argomenti a scelta su tre proposti), non è consentito l'utilizzo di alcun supporto cartaceo e/o informatico;
verifica delle conoscenze e delle competenze di tipo argomentativo e dimostrativo.
Il materiale didattico a disposizione dello studente comprende numerose le prove d'esame con il loro svolgimento commentato a cura del docente.
Colloquio orale - durata 20-30 minuti
obiettivo: valutazione della capacità di comunicazione dello studente, della sua proprietà di linguaggio e dell'abilità nell'organizzare l'esposizione dei contenuti.
La prova nel suo insieme consiste nel valutare le conoscenze dei contenuti del corso e le competenze sia di tipo applicativo che argomentativo e comunicativo acquisite.
La misurazione conclusiva della prova avverrà sulla base dei risultati della prova scritta e dell'esito del colloquio orale.
Tempistica: le date delle prove scritte sono fisse (stabilite dal Consiglio di Corso di Studio); quella del colloquio, necessariamente successiva alla correzione della prova scritta (in media dopo 5-7 giorni dopo lo scritto), potrà essere concordata con il docente.
Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA
visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa - Programma esteso
- Primi modelli dinamici discreti. Processi iterativi e ricorsivi. Teorema delle contrazioni.
Studio dell'evoluzione dinamica (sup/inf, limiti, continuità, derivata).
Mappe conservative (teorema degli zeri e di Weierstrass).
Applicazioni della derivata. Studio di funzione. Problemi di ottimizzazione.
Zeri di una funzione: esistenza, unicità, localizzazione delle soluzioni, algoritmi di approssimazione (bisezione; metodi di linearizzazione: regula falsi, secanti, Newton-Raphson).
Fitting di dati (interpolazione polinomiale e mediante spline; regressione lineare).
Integrazione secondo Riemann. Approssimazione dell'integrale (formule di Newton-Cotes). Applicazioni dell'integrale. Area, volume, centro di massa.
Dai modelli dinamici discreti a quelli continui. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Esistenza, unicità, calcolo delle soluzioni (variabili separabili, omogenee, lineari). Soluzioni approssimate: metodo delle epsilon-soluzioni, algoritmi one step (Eulero, Eulero modificato).
Equazioni differenziali lineari di ordine superiore.
Sere numeriche. Criteri di convergenza (criteri del rapporto, Leibnitz, assoluta convergenza).
Approssimazione polinomiale. Serie di Taylor.