Insegnamento ANALISI MATEMATICA IV
- Corso
- Matematica
- Codice insegnamento
- 55078209
- Curriculum
- Comune a tutti i curricula
- Docente
- Anna Rita Sambucini
- Docenti
-
- Anna Rita Sambucini
- Ore
- 63 ore - Anna Rita Sambucini
- CFU
- 9
- Regolamento
- Coorte 2019
- Erogato
- 2021/22
- Attività
- Caratterizzante
- Ambito
- Formazione teorica
- Settore
- MAT/05
- Tipo insegnamento
- Obbligatorio (Required)
- Tipo attività
- Attività formativa monodisciplinare
- Lingua insegnamento
- ITALIANO
- Contenuti
- Il corso intende introdurre alcuni aspetti fondanti dell'analisi reale, presentando problemi e applicazioni che derivano da mondo fisico, biologico, chimico ed economico.
- Testi di riferimento
- P. Cannarsa & T. D'Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale, UNITEXT, Springer, 2008, xii+268 pp.
R.G. Bartle, The elements of integration and Lebesgue measure, Wiley Classics Library, Wiley-Interscience Publ., New York, 1995, xii+179 pp.
F.S. Botelho, Real analysis and applications, Springer, Cham, 2018. xiii+567 pp.
H.D. Junghenn, Principles of analysis. Measure, integration, functional analysis, and applications, CRC Press, Boca Raton, FL, 2018, xx+520 pp. - Obiettivi formativi
- Acquisizione e familiarità delle proprietà basilari dell'analisi reale e degli spazi di Hilbert. La materia costituisce parte del contenuto riformato di un corso di secondo livello per le lauree triennali in Matematica italiane. Anche l'impostazione è riformata, e i libri di testo adottati sono ricchi di esempi e controesempi, e dunque ottimali per raggiungere una buona comprensione delle definizioni e degli enunciati dei teoremi.
Il corso ha l’obiettivo di analizzare gli argomenti base di analsi reale e della teoria degli spazi di Hilbert, trattando in modo diffuso la disciplina come si insegna da anni in ambito nazionale e internazionale. In tal senso, al termine del corso gli studenti dovrebbero essere in grado di:
- conoscere gli elementi base di analisi reale e come essi si applichino alle scienze della natura,
- possedere competenze computazionali per la risoluzione di esercizi vari,
- leggere e comprendere testi di Analisi Reale,
- fornire autonomamente una dimostrazione di enunciati semplici, con spiccata capacità di ragionamento,
- comunicare in lingua italiana le conoscenze matematiche acquisite nel corso e le problematiche connesse,
- lavorare in gruppo, ma anche in autonomia.
Le competenze enunciate sono indispensabili sia in ambito delle professioni tradizionali del matematico, sia per le attività del matematico in ambito lavorativo di tipo tecnico e/o industriale. - Prerequisiti
- Per comprendere al meglio gli argomenti trattati nell'insegnamento è opportuno aver superato gli esami di Analisi Matematica I, II e III. In particolare, l'insegnamento si propone di avvicinare lo studente a teorie che svolgono un ruolo centrale nella matematica moderna, come l'integrazione e l'analisi funzionale in spazi di Hilbert. Pertanto, i prerequisiti sono concetti che si incontrano non solo nei corsi base di matematica ma, sempre più frequentemente, anche nella formazione scolastica pre-universitaria.
- Metodi didattici
- Il corso si articola in lezioni frontali, nelle quali vengono svolti vari esercizi esemplificativi. Gli argomenti essenziali vengono riassunti in dispense fornite dal docente. Il corso è di 63 ore di teoria ed è ricco di diversi esempi e controesempi (quasi 20 ore sono rivolte allo svolgimento di esercizi). Nell'orario di ricevimento gli studenti potranno essere seguiti in modo personalizzato.
Per comprendere al meglio gli argomenti trattati nell'insegnamento è opportuno aver superato gli esami di Analisi Matematica I, II e III. In particolare, l'insegnamento si propone di avvicinare lo studente a teorie che svolgono un ruolo centrale nella matematica moderna, come l'integrazione e l'analisi funzionale in spazi di Hilbert. Pertanto, i prerequisiti sono concetti che si incontrano non solo nei corsi base di matematica ma, sempre più frequentemente, anche nella formazione scolastica pre-universitaria. - Altre informazioni
- Il docente distribuirà materiale didattico utile per una migliore comprensione del corso, allo scopo di facilitare la preparazione dell'esame. In via sperimentale, con l'accordo degli studenti frequentanti, il corso potrebbe essere svolto, interamente o in parte, in lingua Inglese. Anche l'esame può svolgersi in lingua Inglese a richiesta dello studente.
Il corso è di 63 ore di teoria ed è ricco di diversi esempi e controesempi (quasi 20 ore sono rivolte allo svolgimento di esercizi). Nell'orario di ricevimento gli studenti potranno essere seguiti in modo personalizzato, anche per appuntamento su loro richiesta.
Per comprendere al meglio gli argomenti trattati nell'insegnamento è opportuno conoscere gli argomenti base di Analisi Matematica I, II e III acquisiti nei corsi di Analisi precedenti della Laurea Triennale in Matematica. In particolare, l'insegnamento si propone di avvicinate lo studente a teorie che svolgono un ruolo centrale nella matematica moderna, come l'analisi reale e il suo uso nelle applicazioni.
La frequenza alle lezioni, anche se non obbligatoria, è vivamente raccomandata per una buona comprensione della materia. - Modalità di verifica dell'apprendimento
- L'esame prevede una sola prova orale con lo svolgimento di alcuni esercizi. La prova orale consiste in una discussione su tre argomenti ognuno articolato in più domande ed è della durata di circa 30 minuti. La prova orale è finalizzata ad accertare il livello di conoscenza raggiunto dallo studente sui contenuti teorici e sulle metodologie trattate nel corso (teoremi fondamentali del corso, definizioni, esempi e controesempi). La prova orale consente infine di verificare la capacità di comunicazione dello studente con proprietà di linguaggio e la sua abilità di organizzare l'esposizione in modo autonomo.
Le prove orali di esame si articolano in 8 sessioni e il calendario è disponibile alla pagina web http://www.dmi.unipg.it/didattica/corsi-di-studio-in-matematica/matematica-triennale/calendario-esami
Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa - Programma esteso
- Spazi di Lebesgue: definizione, completezza, separabilità e dualità. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Convergenze: in misura, quasi uniforme. Teorema di Vitali e diagrammi di convergenza. Funzioni a variazione limitata e assolutamente continue: derivazione e integrazione. Spazi di Hilbert: spazi Euclidei, identità del parallelogramma, teorema della proiezione, dualità, sistemi ortonormali, serie trigonometriche. Teoremi di convergenza forte in Lp(X). Sottoinsiemi densi in Lp(X).