Insegnamento MECCANICA ANALITICA
- Corso
- Fisica
- Codice insegnamento
- GP005455
- Sede
- PERUGIA
- Curriculum
- Comune a tutti i curricula
- Docente
- Gianluca Grignani
- Docenti
-
- Gianluca Grignani
- Ore
- 42 ore - Gianluca Grignani
- CFU
- 6
- Regolamento
- Coorte 2021
- Erogato
- 2022/23
- Attività
- Affine/integrativa
- Ambito
- Attività formative affini o integrative
- Settore
- FIS/02
- Tipo insegnamento
- Obbligatorio (Required)
- Tipo attività
- Attività formativa monodisciplinare
- Lingua insegnamento
- ITALIANO
- Contenuti
- Elementi di Meccanica Razionale. Meccanica Lagrangiana: vincoli e coordinate generalizzate, principio di Hamilton, equazioni di Lagrange, simmetrie di Lie e Noether, il problema dei due corpi. Meccanica Hamiltoniana: equazioni canoniche, parentesi di Poisson, trasformazioni canoniche, teoria di Hamilton-Jacobi.
- Testi di riferimento
- H. GOLDSTEIN, C.P. POOLE, J.L. SAFKO, Classical Mechanics, III ed., Addison Wesley, 2001;
V. I. ARNOLD, Mathematical Methods of Classical Mechanics, II ed., Springer-Verlag, 1989;
G. GRIOLI, Lezioni di Meccanica Razionale, Libreria Cortina, 2002. - Obiettivi formativi
- Conoscenza dei concetti basilari della Meccanica Analitica.
- Prerequisiti
- Conoscenza del calcolo differenziale, della geometria euclidea, dell'algebra e della meccanica classica.
- Metodi didattici
- Lezioni frontali e ricevimento.
- Modalità di verifica dell'apprendimento
- Prova orale con svolgimento congiunto di esercizi. La prova orale è importante poiché permette allo studente di dimostrare la comprensione degli argomenti del corso e dialogare con il docente usando la terminologia scientifica appropriata.
Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa - Programma esteso
- • Ripasso di concetti elementari
Velocità scalare e velocità vettoriale, accelerazione tangente e normale. Trasformazioni tra sistemi di riferimento inerziali, rotazioni, traslazioni, boost galileiani. Conservazione del momento lineare e del momento angolare. Campi di forze conservativi, differenziali esatti e potenziale. Campi di forza centrale e conservazione del momento angolare. Orbite piane per campi di forza centrale.
• Meccanica di un sistema di N particelle
Forze interne e forma debole del principio di azione e reazione. Momento lineare e angolare totali. Equazioni della dinamica e leggi di conservazione per sistemi di N particelle. Conservazione dell’energia per forze conservative, potenziale delle forze interne. Vincoli olonomi.
• Equazioni di Lagrange
Coordinate generalizzate e vincoli olonomi. Principio dei lavori virtuali e derivazione delle equazioni di Lagrange. Indipendenza delle equazioni di Lagrange dalla scelta delle coordinate. Forze apparenti, forza di Corioli. Vincoli olonomi e moltiplicatori di Lagrange. Pendolo doppio. Masse ruotanti. Potenziali dipendenti dalle velocità, lagrangiana di una particella carica in un campo elettromagnetico. Potenziali scalare e vettore. Invarianza di gauge.
• Forma più generale di lagrangiana
Moto di una particella carica in un campo magnetico uniforme e costante. Forma più generale di lagrangiana. Integrale di Jacobi e energia meccanica. Quando si conserva l’energia meccanica.
• Simmetrie e leggi di conservazione
Momenti generalizzati. Coordinate cicliche e leggi di conservazione. Simmetrie e leggi di conservazione. Teorema di Noether e sua dimostrazione. Omogeneità dello spazio, invarianza per traslazioni della lagrangiana e conservazione dell’impulso lineare totale. Isotropia dello spazio, invarianza rotazionale della lagrangiana e conservazione del mo- mento angolare totale. Omogeneità del tempo e conservazione dell’integrale di Jacobi. Rotazioni e rotazioni infinitesime.
• Principio di Hamilton o di minima azione
Principi integrali. Funzionale azione e principio di azione stazionaria o di Hamilton. Azione di una particella carica in un campo elettromagnetico. Invarianza delle equazioni di Hamilton per cambiamenti della lagrangiana di una derivata totale. Estensione del principio di Hamilton a sistemi vincolati.
• Introduzione ai corpi rigidi
Esercizio per trattare anche vincoli anolonomi. Anello che rotola senza strisciare su un cilindro. Introduzione ai corpi rigidi. Formule di Poisson, velocità angolare. Proiezione della velocità lungo la congiungente due punti. Moti rigidi, traslatori, rototraslatori e rotatori Accelerazione. Esercizio su sbarra che ruota. Moti rigidi con un punto fisso, moti di precessione. Velocità angolare. Precessione dell’asse terrestre. Massa e centro di massa in sistemi continui. Potenziale per la forza centrifuga.
• Dinamica dei corpi rigidi
Teorema di Huygens-Steiner. Teorema di König. Energia cinetica di un rigido. Esempi di corpi rigidi: disco che rotola attaccato ad una molla in un sistema rotante; sbarra attaccata ad un punto fisso e soggetta alla forza gravitazionale. Equazioni di Eulero. Trottole libere, caso di due momenti principali di inerzia uguali e uno diverso. Oscillazione di Chandler, Chandler wobble. Stabilità dei moti intorno agli assi principali. Teorema dell’asse intermedio. Angoli di Eulero. Angoli di Eulero e trottola pesante. Dinamica della trottola in termini di angoli di Eulero, rotazione precessione e nutazione.
• Equazioni di Hamilton
Trasformata di Legendre della lagrangiana, hamiltoniana. Equazioni di Hamilton. Esempi, pendolo e particella carica in un campo elettromagnetico. Coordinate cicliche e teoremi di conservazione. Conservazione dell’hamiltoniana. Esempi. Metodo di Routh. Pendolo scorrevole. Principio di Hamilton modificato. Principio di Maupertuis e principio di Fermat.
• Trasformazioni canoniche
Trasformazioni canoniche, funzioni generatrici. Formulazione simplettica delle equazioni di Hamilton. Trasformazioni canoniche infinitesime. Metodi per stabilire se una trasformazione è canonica, parentesi di Poisson e invariati canonici. Teorema di Jacobi Poisson. Trasformazioni canoniche attive e passive. Generatori delle trasformazioni canoniche infinitesime, momento lineare totale e momento angolare.