Insegnamento MATHEMATICAL PHYSICS II

Corso
Matematica
Codice insegnamento
A002024
Curriculum
Didattico-generale
Docente
Francesca Di Patti
Docenti
  • Francesca Di Patti
Ore
  • 42 ore - Francesca Di Patti
CFU
6
Regolamento
Coorte 2022
Erogato
2022/23
Attività
Caratterizzante
Ambito
Formazione modellistico-applicativa
Settore
MAT/07
Tipo insegnamento
Obbligatorio (Required)
Tipo attività
Attività formativa monodisciplinare
Lingua insegnamento
La lingua ufficiale è l'Inglese. Previo consenso di tutti gli studenti frequentanti, il corso potrà essere tenuto in Italiano.
Contenuti
Sistemi dinamici unidimensionali: sistemi dinamici su una linea e sulla circonferenza, biforcazioni. Sistemi dinamici bidimensionali: sistemi lineari, piano delle fasi, cicli limite. Caos: le equazioni di Lorenz, mappe unidimensionali. Introduzione ai pattern di Turing.
Testi di riferimento
S. H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos, Westview Press.

E. Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press.
Obiettivi formativi
Lo scopo di questo corso è quello di fornire agli studenti un'introduzione sui sistemi dinamici, in particolare sulla dinamica non lineare, il caos e la formazione di pattern. Tramite sia risultati teorici, sia esempi pratici, alla fine del corso lo studente avrà acquisito gli strumenti necessari per analizzare e predire il comportamento di semplici sistemi a partire dalle regole che ne definiscono la dinamica. Il corso si caratterizza per un approccio molto intuitivo che consente allo studente di impadronirsi di una metodologia fruibile sia nel campo delle applicazioni, che in campo didattico.
Prerequisiti
I prerequisiti essenziali sono gli argomenti di Analisi Matematica e di Algebra Lineare. E' comunque opportuno avere una conoscenza di base sul calcolo a più variabili, in particolare sulle derivate parziali, sulla matrice Jacobiana e sulle equazioni differenziali.
Metodi didattici
Lezioni in aula su tutti gli argomenti del corso e relativi esercizi.
Gli studenti troveranno su unistudium il programma dettagliato delle lezioni svolte e il materiale aggiuntivo.
Altre informazioni
Frequenza delle lezioni: facoltativa ma raccomandata.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Unico colloquio finale della durata di 30/45 minuti.
La prova orale consiste in una discussione di 2/3 argomenti finalizzata ad accertare il livello di conoscenza e capacità di comprensione raggiunto dallo studente sui contenuti teorici e metodologici indicati nel programma. Tale prova orale sarà inoltre l'occasione per verificare il grado di comunicazione raggiunto dallo studente con proprietà di linguaggio ed organizzazione autonoma dell' esposizione.
Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa.
Programma esteso
Introduzione ai sistemi dinamici, cenni storici.
Sistemi dinamici unidimensionali, punti fissi, stabilità dei punti fissi, traiettorie, ritratto di fase, modelli di crescita di popolazioni (esponenziale, logistica, gompertziana), analisi di stabilità lineare.
Punti di equilibrio semi-stabili, esistenza e unicità delle soluzioni, impossibilità delle oscillazioni per i sistemi unidimensionali, stabilità mediante l'energia potenziale, biforcazione di tipo nodo-sella, biforcazione transcritica.
Esercizi sulle forme normali delle biforcazioni transcritiche, esempio del laser, biforcazione pitchfork sovracritica e sottocritica, isteresi.
Esempio del punto materiale che si muove su una circonferenza che ruota con velocità angolare costante.
Biforcazioni imperfette e catastrofi, esempio di una massa su un filo inclinato, modello di infestazione degli insetti.
Studio delle biforcazioni nei modelli di infestazione degli insetti, introduzione ai flussi su una circonferenza, oscillatore uniforme, oscillatore non uniforme.
Pendolo overdamped, modello delle lucciole, modello delle giunzioni Josephson, introduzione ai sistemi lineari, esempio dell'oscillatore armonico.
Stabilità secondo Lyapunov, stabilità asintotica, attrattore, classificazione dei punti di equilibrio per un sistema lineare.
Ritratti di fase nel piano, esistenza, esistenza e unicità, punti fissi e linearizzazione, introduzione al modello di Lotka-Volterra.
Analisi del modello di Volterra-Lotka, modello di Volterra, introduzione ai sistemi conservativi.
Sistemi conservativi, sistemi reversibili, il pendolo, introduzione ai cicli limite, sistemi gradiente, funzioni di Liapunov.
Criterio di Dulac, teorema di Poincarè-Bendixon, sistemi Lienard, relaxation oscillations.
Oscillatori debolmente non-lineari, teoria delle perturbazioni regolari, perturbazioni multiscala (two-timing).
Averaged equations e applicazioni all'equazione di Van der Pol, biforcazione di Hopf, modello del Brusselatore.
Mappa di Poincarè, stabilità lineare delle orbite periodiche, moltiplicatori di Floquet, introduzione al sistema di Lorenz.
Il modello di Lorenz, proprietà (nonlinearità, simmetrie, contrazione del volume), punti fissi e loro stabilità, dipendenza dalle condizioni iniziali, esponenti di Lyapunov, definizione di caos, definizione di attrattore e di attrattore strano.
Introduzione alle mappe unidimensionali, punti fissi, la mappa logistica, esponenti di Lyapunov per le mappe.
Modelli di reazione e diffusione, instabilità di Turing. Introduzione ai modelli di reazione e diffusione su complex network.
Modelli di reazione e diffusione su rete non direzionata e rete diretta. Tecnica multiscala per caratterizzare i pattern.
Derivazione dell'equazione di Stuart-Landau per sistemi di reazione e diffusione, introduzione ai frattali, insiemi numerabili, insieme di Cantor.
Dimensione dei frattali auto-similari, dimensione di similarità, box dimension, dimensione pointwise, dimensione di correlazione, modello epidemiologico.
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