Insegnamento GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Corso
Matematica
Codice insegnamento
55A00091
Curriculum
Comune a tutti i curricula
Docente
Nicola Ciccoli
Docenti
  • Nicola Ciccoli
Ore
  • 63 ore - Nicola Ciccoli
CFU
9
Regolamento
Coorte 2022
Erogato
2022/23
Attività
Caratterizzante
Ambito
Formazione teorica avanzata
Settore
MAT/03
Tipo insegnamento
Obbligatorio (Required)
Tipo attività
Attività formativa monodisciplinare
Lingua insegnamento
ITALIANO
Il corso può essere svolto in lingua inglese su richiesta unanime dei frequentanti.
Contenuti
Teoria delle varietà differenziabili astratte
Testi di riferimento
M. ABATE, F. TOVENA, Geometria Differenziale, Springer.

F. D'ANDREA: Geometria Differenziale, Liguori editore.

J.M.LEE, Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society

Gadea/Muñoz - "Analysis & Algebra on Differentiable Manifolds: A Workbook for Students and Teachers".

Saranno forniti appunti del docente su Unistudium che coprono una parte del programma. Per studenti lavoratori, non frequentanti, disabili e/o con DSA si richiede di contattare il docente per materiale aggiuntivo.
Obiettivi formativi
L'insegnamento intende introdurre gli studenti a strumenti e argomenti propri della geometria differenziale astratta.

Le principali conoscenze acquisite saranno relative alla padronanza delle tecniche di calcolo e di dimostrazione nel calcolo differenziale su varietà non necessariamente immerse e di dimensione qualunque.
Prerequisiti
I prerequisiti sotto elencati riguardano sia gli studenti frequentanti che gli studenti non frequentanti.

Calcolo differenziale di una e più variabili reali (comprensivo di teoremi di esistenza e unicità delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie): indispensabile. Elementi di topologia degli spazi metrici: indispensabile. Algebra lineare: indispensabile. Geometria affine e proiettiva del piano e dello spazio: importante.

In generale si possono ritenere importanti i contenuti (non esplicitamente dichiarati indispensabili) dei corsi di Algebra I, Analisi I-II-III, Geometria I, II, III e IV.
Metodi didattici
Lezioni frontali in aula su tutti gli argomenti del corso. Svolgimento di esercizi atti ad applicare le conoscenze teoriche in situazioni "concrete".Gli studenti saranno incoraggiati a svolgere parte attiva nel processo di apprendimento, cercando di evitare di proporre la semplice memorizzazione di procedure standardizzate di calcolo. Verrà quindi loro richiesto un atteggiamento attivo nei confronti del materiale didattico e in generale verso la procedura di apprendimento. In particolare: dimostrazioni non complete in tutti i dettagli, esercizi le cui parti più meccaniche vengono lasciate allo studente, indicazioni di temi di approfondimento non strettamente ricompresi nel programma, vanno intesi come un preciso metodo didattico atto a contrastare la logica della standardizzazione dei contenuti e incoraggiare la crescita di un atteggiamento curioso e propositivo nei confronti della materia.
Altre informazioni
La frequenza non è obbligatoria ma largamente consigliata. Il ricevimento si svolgerà sia in presenza, secondo orari che verranno comunicati all'inizio delle lezioni, che, su richiesta, online in orari da concordare via e-mail con il professore.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste di una sola prova orale di durata variabile e comunque non superiore ai 120 minuti.

La prova ha lo scopo di verificare:

la capacità di applicare le nozioni della geometria differenziale in esempi espliciti. Per questa ragione durante l'orale può essere richiesto di svolgere brevi esercizi.
la comprensione delle problematiche teoriche affrontate nel corso, della loro relazione con altri campi della matematica e la capacità di stabilire collegamenti tra le differenti parti del programma. Per questo motivo viene richiesto di essere in grado di dare dimostrazioni sufficientemente complete dei principali risultati enunciati nel corso.
la capacità espositiva degli studenti e la loro maggiore o minore precisione nell'uso del linguaggio matematico.

Non è prevista una prova d'esonero durante il corso. Qualora gli studenti se ne dimostrino interessati è possibile che venga attivata la possibilità di coprire parte del programma con lo studio autonomo di un progetto proposto dal docente,

Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa
Programma esteso
Teoria delle varietà differenziabili: definizione, carte locali, atlanti. Esempi principali. Paracompattezza e partizioni dell'unità. Applicazioni differenziabili tra varietà. Varietà con bordo. Spazi tangente e cotangente. Differenziale di una applicazione. Fibrato tangente e fibrato cotangente. Immersioni e summersioni. Immersioni regolari e cenni al teorema di Whitney. Foliazioni e quozienti.

Campi vettoriali e flussi: integrabilità. Parentesi di Lie di campi vettoriali. Algebre di Lie. Gruppi di Lie e azioni differenziabili: gruppi di trasformazioni. Teorema di Frobenius.

Elementi di algebra multilineare. Campi tensoriali su varietà. Forme differenziali su varietà. Calcolo differenziale astratto. Integrazione su varietà. Coomologia di De Rham.

Se il tempo lo permette si svilupperanno inoltre alcuni concetti della teoria generale dei fibrati vettoriali e delle connessioni sui fibrati, con cenni alla Geometria Riemanniana.
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