Insegnamento TEORIA DELL'APPROSSIMAZIONE

Corso
Matematica
Codice insegnamento
55A00062
Curriculum
Matematica per le applicazioni industriali e biomediche
Docente
Gianluca Vinti
Docenti
  • Gianluca Vinti
Ore
  • 63 ore - Gianluca Vinti
CFU
9
Regolamento
Coorte 2022
Erogato
2022/23
Attività
Caratterizzante
Ambito
Formazione teorica avanzata
Settore
MAT/05
Tipo insegnamento
Obbligatorio (Required)
Tipo attività
Attività formativa monodisciplinare
Lingua insegnamento
ITALIANO
Contenuti
•Introduzione.
•Il problema della Migliore approssimazione:
-Migliore approssimazione in spazi lineari normati
-Approssimazione polinomiale
-Migliore approssimazione uniforme
-Polinomi di Bernstein
-Primo Teorema di Weiestrass
-Moduli di continuità, moduli di smoothness, stime dell’errore di approssimazione e K-Functionals.
-Teorema di Bohman-Korovkin e sue generalizzazioni
-Polinomi trigonometrici
-Secondo Teorema di Weiestrass
-Approssimazione uniforme con polinomi trigonometrici
•Brevi cenni sull’interpolazione funzioni spline
•Teoremi di Jackson:
-Teoremi diretti
-Teoremi inversi

• Operatori integrali lineari:
-Spazi L^P e sottoinsiemi densi in L^p: brevi richiami
-Operatori di convoluzione e identità approssimate
-Integrali singolari
-Criteri di convergenza forte
-Nuclei positivi
-Convergenza puntuale e convergenza quasi ovunque
-Convergenza in variazione
-Ordine di approssimazione
-Classi di Lipschitz e classi di saturazione (Favard)

•Teorema del campionamento approssimato:
-Richiami al teorema del campionamento
-Versione approssimata e predizione
-Convergenza puntuale e uniforme
-Ordine di approssimazione
-Convergenza in L^P e generalizzazioni
-Versione sampling-Kantorovich:stime e convergenza
-Estensioni multidimensionali
Testi di riferimento
- Dispense a cura del docente

- P.L. Butzer-R.J. Nessel, “Fourier Analysis and Approximation, vol I”, Academic Press, 1971.

- G.G. Lorentz “Approximation of functions”, AMS Chelsea Publishing, 1986.

- W. Cheney – W. Light “A course in Approximation Theory”, Graduate Studies in Mathematics, Vol 101, Amer. Math. Soc., 2000.
Obiettivi formativi
Il corso rappresenta il primo insegnamento del CdS dove vengono forniti gli strumenti principali che descrivono i processi di approssimazione analitica delle funzioni.

L'obiettivo del corso consiste nel fornire allo studente la teoria e gli strumenti per la conoscenza dei processi di approssimazione analitica, analizzandone anche aspetti applicativi.

Le principali conoscenze acquisite saranno:

- conoscenze relative alle convoluzioni e alle loro proprietà;

- gli integrali singolari nella loro versione sia uni che multidimensionale;

- le tecniche di approssimazione polinomiale;

- lo studio degli operatori lineari positivi e i loro principali risultati;

- le applicazioni alla teoria dei segnali tramite il teorema del campionamneto e l'utilizzo di operatori sampling per la ricostruzione di segnali ed immagini in forma approssimata.



Le principali abilità (ossia la capacità di applicare le conoscenze acquisite) saranno:

- comprendere le giuste definizioni, le proprietà e le tecniche dei principali processi di approssimazione;

- valutare l'efficacia di un processo di approssimazione in termini di velocità di convergenza e relativamente al problema da risolvere;

- conoscere le potenzialità applicative dei processi di approssimazione per la creazione di modelli e algoritmi matematici.
Prerequisiti
Ai fini della comprensione del corso è necessario la conoscenza dei contenuti dei corsi di Analisi Funzionale e dell'Analisi di Fourier.
Metodi didattici
Il corso è articolato in lezioni in aula su tutti gli argomenti del corso
Altre informazioni
Si consiglia fortemente la frequenza di tutte le lezioni.
Modalità di verifica dell'apprendimento
La modalità di valutazione consiste in una prova orale della durata di circa 30 minuti volta ad apprendere le conoscenza delo studente dei contenuti teorici del corso unitamente alle sue capacità di risolvere alcuni problemi di natura applicativa dove i processi di approssimazione svolgono un ruolo fondamentale. La prova consentirà anche di accertare la capazitò di espressione dello studente ed il suo rigore nella formulazione degli argomenti del corso.

Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa
Programma esteso
•Introduzione.
•Il problema della Migliore approssimazione:
-Migliore approssimazione in spazi lineari normati
-Approssimazione polinomiale
-Migliore approssimazione uniforme
-Polinomi di Bernstein
-Primo Teorema di Weiestrass
-Moduli di continuità, moduli di smoothness, stime dell’errore di approssimazione e K-Functionals.
-Teorema di Bohman-Korovkin e sue generalizzazioni
-Polinomi trigonometrici
-Secondo Teorema di Weiestrass
-Approssimazione uniforme con polinomi trigonometrici
•Brevi cenni sull’interpolazione funzioni spline
•Teoremi di Jackson:
-Teoremi diretti
-Teoremi inversi

• Operatori integrali lineari:
-Spazi L^P e sottoinsiemi densi in L^p: brevi richiami
-Operatori di convoluzione e identità approssimate
-Integrali singolari
-Criteri di convergenza forte
-Nuclei positivi
-Convergenza puntuale e convergenza quasi ovunque
-Convergenza in variazione
-Ordine di approssimazione
-Classi di Lipschitz e classi di saturazione (Favard)

•Teorema del campionamento approssimato:
-Richiami al teorema del campionamento
-Versione approssimata e predizione
-Convergenza puntuale e uniforme
-Ordine di approssimazione
-Convergenza in L^P e generalizzazioni
-Versione sampling-Kantorovich:stime e convergenza
-Estensioni multidimensionali
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