Insegnamento ALGEBRA COMMUTATIVA E COMPUTAZIONALE

Nome del corso di laurea	Matematica
Codice insegnamento	55A00084
Curriculum	Didattico-generale
Docente responsabile	Giuliana Fatabbi
Docenti	Giuliana Fatabbi
Ore	63 Ore - Giuliana Fatabbi
CFU	6
Regolamento	Coorte 2022
Erogato	Erogato nel 2022/23
Erogato altro regolamento
Attività	Caratterizzante
Ambito	Formazione teorica avanzata
Settore	MAT/02
Anno	1
Periodo	Primo Semestre
Tipo insegnamento	Obbligatorio (Required)
Tipo attività	Attività formativa monodisciplinare
Lingua insegnamento	Italiano
Contenuti	Approfondimento della teoria degli anelli commutativi unitari e una introduzione alla teoria delle basi di Groebner.
Testi di riferimento	Atiyah-Macdonald, Intoduction to Commutative algebra, Addison-Wesley, 1969 Cox-Little-O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer , 1997 Eventuale materiale integrativo reperibile in Unistudium
Obiettivi formativi	Lo scopo del corso è: -approfondire la teoria degli anelli commutativi con unità, con particolare attenzione all'anello dei polinomi ed ai suoi quozienti, avendo in vista le applicazioni dell'algebra commutativa alla geometria algebrica -introdurre la teoria delle basi di Groebner, al fine di iniziare lo studente all’algebra computazionale ed alle sue applicazioni. Il corso si prefigge anche lo scopo affinare la capacità di astrazione e, d’altra parte, mostrare come una buona conoscenza teorica permetta di sviluppare significativi strumenti applicativi. In particolare, il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze: Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): -Conoscenza di risultati e di metodi fondamentali della teoria delle strutture algebriche e delle sue applicazioni. -Capacità di leggere, comprendere e approfondire un argomento della letteratura matematica e riproporlo in modo chiaro ed accurato. -Capacità di comprendere i problemi e di estrarne gli elementi sostanziali. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): -Capacità di costruire o risolvere esempi od esercizi, di risolvere problemi matematici di analoga natura ad altri già conosciuti e di affrontare problemi teorici nuovi, ricercando le tecniche più adatte e applicandole opportunamente. -Sviluppare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; avere adeguate competenze computazionali, comprendenti anche la conoscenza di un software specifico. Autonomia di giudizio (making judgements): -Essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci . -Essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito dell’algebra e delle sue applicazioni. -Essere in grado di formulare autonomamente giudizi pertinenti sull'applicabilità di modelli algebrici a situazioni teoriche e/o concrete. Abilità comunicative (communication skills): -Capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. -Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti, nonché degli strumenti computazionali adottati. Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento della letteratura algebrica. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico di argomenti algebrici non precedentemente approfonditi.
Prerequisiti	Concetti di base su anelli e ideali, in particolare su anelli di polinomi a coefficienti in un campo.
Metodi didattici	Lezioni frontali
Altre informazioni	Con l'accordo degli studenti frequentanti, il corso puo' essere svolto, interamente o in parte, in lingua inglese. Utilizzo della piattaforma Unistudium
Modalità di verifica dell'apprendimento	E' prevista una prova orale della durata di 45-60 minuti. Durante tale prova sarà richiesto allo studente di illustrare la soluzione di 2 o 3 esercizi assegnati alla fine del corso e di esporre alcuni argomenti trattati nel corso. Tale prova orale tende a valutare il livello di comprensione degli argomenti trattati e di studio critico e rielaborazione personale. Dietro richiesta, l'esame si può sostenere in lingua inglese. Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA visita la pagina http://www.unipg.it/disabilita-e-dsa. Il docente è in ogni caso a disposizione per valutare personalmente, nei casi specifici eventuali misure compensative e/o percorsi personalizzati nel caso di studenti con disabilità e/o DSA. Il docente è a disposizione anche per valutare eventuali percorsi personalizzati per studenti lavoratori o non frequentanti
Programma esteso	I. Anelli e ideali. Prime proprietà degli anelli commutativi con unità. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali. Nilradicale e radicale di Jacobson. Operazioni con gli ideali; radicale di un ideale. Omomorfismi. Ideali estesi e ideali contratti. II. Moduli. Definizione e prime proprietà. Prodotto diretto e somma diretta: moduli liberi. Moduli finitamente generati e lemma di Nakayama. Omomorfismi tra moduli. Algebre. III. Anelli e moduli di frazioni. Definizione e proprietà. Localizzazione e proprietà locali. Ideali negli anelli di frazioni. IV. Anelli noetheriani. Varietà affini, K-algebre affini e dizionario di base algebra-geometria algebrica. Dimensione di Krull. Anelli e moduli noetheriani: definizioni e prime proprietà. V. Anelli artiniani. Anelli e moduli artiniani. Un anello è artiniano se e soltanto se è noetheriano e ha dimensione zero. VI. Decomposizione primaria. Ideali primari; decomposizione primaria. Primi associati e loro caratterizzazione. Divisori dello zero. Unicità delle componenti isolate. Il caso noetheriano. VII. Teorema degli zeri di Hilbert: forma debole e forma forte. VIII. Dipendenza integrale. Definizioni e prime proprietà. Teorema del Going Up. Domini normali e Teorema del Going Down. IX. Cenni di teoria della dimensione. Catene di primi, altezza, dimensione. Teorema dell'ideale principale di Krull. Teorema dell'altezza di Krull. Dimensione degli anelli di polinomi a coefficienti in un campo. Anelli locali. Sistema di parametri. Dimensione di immersione. Anelli locali regolari (solo definizione e importanza geometrica). X. I. Teoria di base delle Basi di Groebner. Il caso lineare. Il caso ad una sola variabile. Ordinamenti monomiali. L’Algoritmo di divisione. Definizione di base di Groebner. S-polinomi e Algoritmo di Buchberger. Basi di Groebner ridotte. XI. Applicazioni delle Basi di Groebner. Applicazioni elementari delle Basi di Groebner. Teoria della eliminazione. Mappe polinomiali. Alcune applicazioni alla Geometria Algebrica.